Den Abstand eines Punktes zu einer Geraden bestimmt man, indem man das Lot durch den Punkt auf die Gerade fällt. Den Schnittpunkt des Lotes und der Geraden bezeichnet man mit . Die Länge der Strecke ist somit genau der Abstand vom Punkt und der Geraden.
Berechnung im 3-dimensionalen Fall
Gegeben sind der Punkt und die Gerade
Formel zur Berechnung des Abstandes:
Begründung der Formel
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Um den Abstand von Punkt und Gerade auszurechnen, nimmt man das Dreieck, das durch den Richtungsvektor der Geraden und aufgespannt wird. (siehe Skizze)
Nun berechnet man die Fläche des Dreiecks.
Dafür kennen wir zwei Formeln:
aus der Mittelstufe
aus der analytischen Geometrie
gleichsetzen und nach auflösen ergibt:
Die Höhe entspricht dem Abstand des Punktes von der Geraden .
Beispiel
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden
Man setzt die Werte in die Formel ein:
Berechne die Vektordifferenz und die Summe unter der Wurzel.
Berechne das Vektorprodukt.
Berechne den Betrag des Vektors.
Vereinfache den Zähler.
Vereinfache.
Antwort: Der Abstand des Punktes zu der Geraden beträgt .
Alternative schrittweise Berechnung mit einer Hilfsebene
Gegeben sind der Punkt und die Gerade
Folgende Schritte werden verwendet, um den Abstand zu bestimmen:
1. Schritt:
Man erstellt eine Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt geht und orthogonal zum Richtungsvektor ist.
2. Schritt:
Wenn man die Ebene in Koordinatenform haben möchte, um die danach folgende Rechnung zu vereinfachen, wandelt man sie in diese um.
3. Schritt:
Nun bestimmt man den Schnittpunkt der Hilfsebene mit der Geraden . Das ist das Lot des Punktes auf die Gerade . Man fängt damit an, die beiden Gleichungen zu kombinieren, um auszurechnen.
4. Schritt:
setzt man jetzt in die Geradengleichung ein und erhält den Ortsvektor des Schnittpunktes (des Lotes).
5. Schritt:
Zum Schluss berechnet man den Abstand der Punkte und .
Beispiele
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden mit einer Hilfsebene.
Lösungsweg 1 (Hilfsebene in Koordinatenform)
1. Schritt:
Man erstellt eine Hilfsebene , die durch den Punkt geht und die zu dem Richtungsvektor orthogonal ist.
Es gilt . Deswegen ist die Normalform geeignet.
2. Schritt:
Die Ebene wandelt man in die Koordinatenform um.
3. Schritt:
In , und kann man jetzt den Vektor der Geraden einsetzen, um zu bestimmen.
4. Schritt:
Man setzt nun in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
5. Schritt:
Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte und .
Vereinfache.
Vereinfache.
Antwort: Der Abstand des Punktes von der Geraden beträgt .
Lösungsweg 2 (Hilfsebene in Normalform)
1. Schritt:
Man erstellt eine Hilfsebene , die durch den Punkt geht und die zu dem Richtungsvektor orthogonal ist.
Es gilt . Deswegen ist die Normalform geeignet.
Man überspringt Schritt , weil schon die richtige Ebenenform gefunden ist.
3. Schritt:
Jetzt sucht man den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden. Hierfür setzt man in die Ebene ein:
Aufgelöst folgt:
4. Schritt:
setzt man in die Geradengleichung ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
5. Schritt:
Jetzt berechnet man den Abstand der beiden Punkte und .
Vereinfache.
Vereinfache.
Antwort: Der Abstand des Punktes von der Geraden beträgt .
Lösungsweg 3 (Minimierung des Abstandes)
1. Schritt:
Man überlegt sich die allgemeine Form der Koordinaten von Punkten auf der Geraden.
2. Schritt:
Man berechnet den Abstand vom Punkt mit den im Schritt ausgerechneten Punkten auf der Geraden. Hierfür benutzen wir die Formel zum Berechnen des Abstandes zweiter Punkte und setzen den Punkt und die Punkte auf der Geraden mit ein.
3. Schritt:
Wir haben einen klobigen Ausdruck für den Abstand erhalten. Dieser Ausdruck ist immer noch von abhängig. Jedes beschreibt einen Punkt auf der Geraden und jeder dieser Punkte hat einen eigenen Abstand.
Jetzt können wir vereinfachen, was unter der Wurzel steht.
4. Schritt:
Der Abstand der Geraden vom Punkt ist gerade das Minimum dieser Funktion .
Da Abstände immer positiv sind, können wir auch das Minimum von bestimmen und dann die Wurzel ziehen.
Wir erkennen die Form einer nach oben geöffneten Parabel und können die Formel für den Scheitelpunkt einer Parabel anwenden, um das Minimum von (also die y-Koordinate des Scheitelpunktes) zu berechnen:
Die y-Koordinate ist:
Lies aus der Parabelgleichung die Werte für , und ab.
Setze , und ein.
Vereinfache den Bruch.
Vereinfache.
Demnach ist und
Alternativ kann auch über das Ableiten das Extremum der Funktion vom Abstandsquadrat bestimmt werden.
Ein weiteres Beispiel für die Abstandsberechnung mit Differentialrechnung
Bestimme mithilfe der Differentialrechnung den minimalen Abstand des Punktes von der Geraden .
Gib auch den Lotfußpunkt an.
Lösung:
Betrachte einen Vektor . Dabei ist und der gegebene Punkt.
Das Minimum des Betrages des Vektors ist dann der gesuchte Abstand.
Stelle den Vektor auf:
Setze den gegebenen Punkt und einen allgemeinen Geradenpunkt ein.
Löse die Klammer auf und berechne die Differenz der beiden Vektoren.
Fasse zu einem Vektor zusammen
Berechne den Betrag des Vektors :
Berechne die Quadrate (binomische Formel).
Fasse zusammen.
Der Abstand ist eine Funktion des Parameters :
Der Abstand wird minimal, wenn der Term unter der Wurzel minimal wird.
Betrachte die Hilfsfunktion:
Die Bedingung für ein Minimum lautet:
und .
Berechne die erste und zweite Ableitung der Funktion :
und
Damit ist die Bedingung für ein Minimum erfüllt.
Für hat die Hilfsfunktion ein Minimum.
Den Abstand des Punktes von der Geraden erhältst du, wenn du in einsetzt:
Den Lotfußpunkt erhältst du, wenn du in einsetzt:
Antwort: Der Punkt hat von der Geraden den Abstand . Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten .
Graphische Darstellung
Beispielaufgaben
Berechnung im Zweidimensionalen
Gegeben ist eine Gerade und ein Punkt . Dann lassen sich diese Objekte im Zweidimensionalen ins Dreidimensionale einbetten.
Man schreibt einfach für und und rechnet wie im Dreidimensionalen, der Abstand (im Zweidimensionalen) ist dann der ausgerechnete Wert.