Gegeben sind der Punkt und die Gerade
.
Berechne den Abstand des Punktes von der Geraden . Gib auch den Lotfußpunkt an.
Hinweis: Verwende bei der Lösung dieser Aufgabe, dass der Verbindungsvektor (Lotvektor) eines Punktes auf der Geraden zum Punkt senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden steht.
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Methode kürzester Abstand
Unter allen Verbindungsstrecken bis ist die kürzeste (in der Abbildung rot eingezeichnet) von diesen Verbindungsstrecken diejenige, die orthogonal (senkrecht) zu der Geraden ist. Die Länge dieser kürzesten Verbindungsstrecke entspricht dem Abstand des Punktes zur Geraden g. Der Lotfußpunkt ist ein Punkt der Geraden . Der Lotvektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden . Die Gleichung liefert einen Wert für den Parameter . Damit können der Punkt und der Vektor berechnet werden. Der Betrag des Vektors (seine Länge) ergibt den Abstand des Punktes von der Geraden .
1. Der Punkt liegt auf der Geraden () , d.h. für den Punkt gilt:
2. Berechne den Vektor
3. Der Vektor steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden ; d.h. das Skalarprodukt zwischen den beiden Vektoren hat den Wert Null :
.
, mit der Lösung
4. Setze in den Vektor ein
5. Der gesuchte Abstand ist die Länge des Vektors , d.h. der Betrag des Vektors.
6. Setzt du in ein, erhältst du die Koordinaten des Lotfußpunktes:
Antwort: Der Punkt hat von der Geraden den Abstand . Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten .
Zusätzliche Visualisierung
