. Aus den Primfaktoren und lassen sich viele verschiedene Produkte bilden.
Wie viele verschiedene Produkte (mit mindestens zwei Faktoren) lassen sich aus den Primfaktoren und bilden, wenn jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf?
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Benutze hier das Modell "ohne Reihenfolge, ohne Zurücklegen", da beim multiplizieren die Reihenfolge keine Rolle spielt und jeder Faktor höchstens einmal vorkommen darf. Berechne also mit Binomialkoeffizient. Unterscheide dabei zwei Fälle, Produkte mit zwei und Produkte mit drei Faktoren.
Produkte mit zwei Faktoren:
Hier gilt (drei Faktoren zur Auswahl) und (Produkt besteht aus genau zwei Faktoren). Es gibt also
Möglichkeiten:
Es gibt nur ein Produkt mit drei Faktoren: .
Insgesamt gibt es also vier Produkte.
Hinweis:
In dieser Lösung wird nicht zwischen Produkten unterschieden, die nur in der Reihenfolge der Faktoren anders sind. Wenn man doch z.B. und unterscheiden möchte, gibt es verschiedene Produkte:
Sechs Produkte mit zwei Faktoren:
, , , , und .
Sechs Produkte mit drei Faktoren:
, , , , und
Das entspricht dem Modell "ohne Zurücklegen, mit Beachtung der Reihenfolge".
Es gibt Faktoren, bei einem Produkt mit zwei Faktoren ist also und und es gibt Möglichkeiten.
Bei einem Produkt mit Faktoren ist sind es Möglichkeiten (oder du nimmst einfach die Anzahl der Permutationen von drei Elementen).
Berechne die Differenz des kleinsten und des größten dieser Produkte.
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Hier gilt wieder und diesmal , da alle drei Faktoren im Produkt vorkommen.
Mit folgt, dass es hier nur eine Möglichkeit gibt.
Es gibt also insgesamt vier Möglichkeiten, die Differenz zwischen der größten und kleinsten Lösung ist .