Der Graph der Funktion ist für verschiedene Werte von , und stets eine Hyperbel. Hier ist , , .
Abbilden der Standardhyperbel
Der Graph der Funktion entsteht aus dem Graphen der Funktion von (Standardhyperbel) durch:
- Verschiebung nach unten oder (Veränderung von )
- Verschiebung nach links oder (Veränderung von ),
- , und Streckung (Veränderung von )
Der Reihe nach kannst du hier die Veränderungen der Funktion durch die Parameter , oder nachvollziehen.
Verschiebung nach unten und oben
Der Parameter der Funktion verschiebt den Graphen der Funktion nach unten bzw. oben.
- Verschiebung um nach oben
- Verschiebung um nach unten
Beispiel für eine Verschiebung nach unten
Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und (An der Stelle x=0 sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Im Koordinatenystem kannst du nun und skizzieren.
Durch Vergleich der Graphen von und kannst du erkennen, dass der Graph von aus dem Graphen von entsteht. Wenn du den Graphen von um nach unten verschiebst, erhältst du den Graphen von .
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Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und
(An der Stelle sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Im Koordinatensystem sieht das dann so aus:
Durch Vergleich der Graphen von und kannst du erkennen, dass der Graph von aus dem Graphen von entsteht. Wenn du den Graphen von um nach oben verschiebst, erhältst du den Graphen von .
Veränderung der Asymptoten
- Die senkrechte Asymptote der Hyperbel verändert sich durch eine Verschiebung um nach unten bzw. oben nicht.
- Die waagrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich (wie der Graph selbst) um nach oben bzw. unten.
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senkrechte Asymptote
Die senkrechte Asymptote bleibt gleich.
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
waagrechte Asymptote
Die waagrechte Asymptote verschiebt sich um .
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
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Im Beispiel von vorhin siehst du, dass die senkrechte Asymptote für und bei liegt.
Die waagrechte Asymptote von ist . Die Funktion hat die waagrechte Asymptote .
Verschiebungen nach links und rechts
Der Parameter der Funktion verschiebt den Graphen der Funktion nach links bzw. rechts.
- Verschiebung um nach links
- Verschiebung um nach rechts
Beispiel für eine Verschiebung nach rechts
Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und
(An den Stellen bzw. sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Die Zeilen der Tabelle von und sehen sich sehr ähnlich. Sie enthalten die gleichen Werte, nur an anderer Stelle . Die Funktionswerte sind in der Tabelle um 2 nach rechts verschoben.
Im Koodinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:
Durch Vergleich der Graphen von und kannst du erkennen, dass der Graph von aus dem Graphen von entsteht. Wenn du den Graphen von um nach rechts verschiebst, erhältst du den Graphen von .
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Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und
(An den Stellen bzw. sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Die Zeilen der Tabelle von und sehen sich sehr ähnlich. Sie enthalten die gleichen Werte, nur an anderer Stelle . Die Funktionswerte sind in der Tabelle um nach links verschoben.
Im Koodinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:
Durch Vergleich der Graphen von und kannst du erkennen, dass der Graph von aus dem Graphen von entsteht. Wenn du den Graphen von um nach links verschiebst, erhältst du den Graphen von .
Veränderung der Asymptoten
- Die waagrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich durch Änderung des Parameters nicht.
- Die senkrechte Asymptote der Hyperbel verschiebt sich (wie der Graph selbst) um nach rechts bzw. links.
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Im Beispiel von vorhin siehst du, dass die waagrechte Asymptote für und bei liegt.
Die senkrechte Asymptote von ist . Die Funktion hat die senkrechte Asymptote .
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senkrechte Asymptote
Die senkrechte Asymptote verschiebt sich um .
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
waagrechte Asymptote
Die waagrechte Asymptote verändert sich nicht.
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
Stauchen und Strecken der Hyperbel
Der Parameter der Funktion staucht bzw. streckt den Graphen der Funktion . Hier betrachten wir erstmal nur positive Werte für , also .
- Stauchung
- Streckung
Beispiel für eine Streckung
Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und .
(An der Stelle sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Die Funktionswerte werden mit dem Faktor multipliziert. So erhältst du die Werte .
Im Koordinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:
Die y-Werte der Punkte auf der Hyperbel von werden mit dem Faktor multipliziert und die Hyperbel so nach außen gestreckt. Die gestreckte Hyperbel ist dann der Graph von .
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Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und .
(An der Stelle sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Die Funktionswerte werden mit dem Faktor multipliziert. So erhältst du die Werte .
Im Koordinatensystem sehen die Hyperbeln dann so aus:
Die y-Werte der Punkte auf der Hyperbel von werden mit dem Faktor multipliziert und die Hyperbel so gestaucht. Die gestauchte Hyperbel ist der Graph der Funktion .
Veränderung der Asymptoten
Die Asymptoten ändern sich durch Stauchung und Streckung des Graphen nicht.
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Im Beispiel von vorhin siehst du, dass die waagrechte Asymptote für und bei liegt.
Die senkrechte Asymptote von und ist .
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senkrechte Asymptote
Die senkrechte Asymptote verändert sich nicht.
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
waagrechte Asymptote
Die waagrechte Asymptote verändert sich nicht.
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
Spiegeln der Hyperbel
Der Parameter der Funktion spiegelt den Graphen der Funktion für negative Werte von an der waagrechten Asymptoten von .
Beispiel
Vergleiche anhand einer Tabelle die Funktionswerte von und .
(An der Stelle sind die beiden Funktionen nicht definiert: nd. = nicht definiert)
Wechselt man das Vorzeichen von , erhält man die Werte von .
Die Hyperben sehen im Koordinatensystem dann so aus:
Der Graph von wurde an der waagrechten Asymptote von (und zwar ) gespiegelt. So erhält man den Graphen von .
Veränderung der Asymptoten
Die Asymptoten ändern sich durch eine Spiegelung nicht.
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senkrechte Asymptote
Die senkrechte Asymptote verändert sich nicht.
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
und , also hat eine senkrechte Asymptote .
waagrechte Asymptote
Die waagrechte Asymptote verändert sich nicht.
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
und , also hat eine waagrechte Asymptote .
Verknüpfung der verschiedenen Parameter
Die Verschiebungen nach oben/unten und links/rechts sowie die Stauchung/Streckung und Spiegelung kannst du auch miteinander verbinden.
Im folgenden Applet kannst du dir für verschiedene Werte von , und den Graphen der Funktion zeichnen lassen. Bewege hierfür den roten, lila und türkisen Schieberegler.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Durch Klicken auf die Kästchen "waagrechte Asymptote" und "senkrechte Asymptote" kannst du dir die entsprechenden Asymptoten des Graphen ein- und ausblenden.
Aufgaben
Übungsaufgaben zu diesem Thema findest du im Aufgabenordner Aufgaben zu einfachen gebrochen-rationale Funktionen.
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