Die Funktion ist der einfachste Fall einer gebrochen-rationalen Funktion.
In diesem Artikel geht es um diese Funktion, ihren Graphen und ihre Eigenschaften.
Graph der Funktion
hat einen Graphen, der aus zwei Teilen besteht,
und den man "Hyperbel" nennt.
(Die beiden Teile nennt man auch die "Äste" der Hyberbel).
Definitionsbereich
Die Funktion hat bei eine Definitionslücke,
das heißt, der Wert muss aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sein.
Warum ist das so?
darf nicht in den Funktionsterm eingesetzt werden, weil man durch nicht teilen darf.
Daher hat die Funktion bei keinen Funktionswert.
Man sagt auch , dass die Funktion an der Stelle "nicht definiert" ist.
Der maximale Definitionsbereich ist daher
- , falls man von der Grundmenge der reellen Zahlen ausgeht,
(bzw.
- , falls man von der Grundmenge der rationalen Zahlen ausgeht).
Verhalten bei und senkrechte Asymptote
Nahe bei werden die -Werte der Funktion
- für sehr klein und gehen nach
- für sehr groß und gehen nach .
Man sagt:
- ist "Polstelle von f", oder
- hat bei einen "Pol"
In Fall von handelt es sich dabei um eine Polstelle / einen Pol mit Vorzeichenwechsel (oder "ungerader Ordnung").
An der Polstelle nähert sich der Graph von der -Achse an.
Man sagt:
- Die Gerade (das ist die y-Achse) ist senkrechte Asymptote von .
Verhalten für bzw. und waagrechte Asymptote
Wenn der -Wert
- sehr groß wird und nach geht,
- oder sehr klein wird und nach geht,
nähern sich die -Werte an .
Der Graph nähert sich für und für an die x-Achse an.
Man sagt:
- Die Gerade (das ist die -Achse) ist waagrechte Asymptote von .
Verschiebungen, Stauchung, Streckung und Spiegelung der Hyperbel
Im Artikel Verschiebungen, Streckungen und Stauchungen von Hyperbeln lernst du wie aus der Hyperbel mit dem Funktionsterm verschobene, gespiegelte, gestauchte oder gestreckte Hyperbeln hervorgehen mit dem Funktionsterm .
