1.0 Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung . Runden Sie im Folgenden auf zwei Stellen nach dem Komma.
1.1 Geben Sie die Wertemenge der Funktion an und zeichnen Sie den Graphen zu für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit
1.2 Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes des Graphen der Funktion mit der -Achse.
1.3 Der Graph der Funktion wird durch Achsenspiegelung an der -Achse sowie anschließende Parallelverschiebung mit dem Vektor auf den Graphen der Funktion abgebildet.
Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion die Gleichung hat und zeichnen Sie den Graphen zu für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.4 Punkte auf dem Graphen zu und Punkte auf dem Graphen zu haben dieselbe Abszisse und sind für zusammen mit Punkten und Eckpunkte von
Parallelogrammen .
Es gilt:
Zeichnen Sie die Parallelogramme für und für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein
1.5 Das Parallelogramm ist eine Raute.
Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes .
1.6 Begründen Sie rechnerisch, weshalb es unter den Parallelogrammen kein Parallelogramm gibt, bei dem das Maß des Winkels doppelt so groß ist wie das Maß des Winkels .
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Weitere hilfreiche Themen: Parallelogramm, Raute, Funktionsgraphen verschieben und Mitternachtsformel
Lösung Teilaufgabe 1.1
Da der Logarithmus und damit auch die Funktion jeden Wert annehmen kann ist der Wertebereich ganz .
Um den Graphen zu zu zu zeichnen, kann man sich als Hilfe z. B. eine Wertetabelle erstellen:
x | -4,5 | -3,5 | -2,5 | -1,5 | -0,5 | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | 3,71 | 1 | -0,26 | -1,09 | -1,71 | -2,20 | -2,62 | -2,97 | -3,28 | -3,55 | -3,80 | -4,02 | -4,23 | -4,42 |
Der Graph zu sieht wie folgt aus:
Lösung Teilaufgabe 1.2
Der Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der -Achse entspricht den Nullstellen von . Wir rechnen also
Dies lässt sich umformen zu
Mithilfe der Definition des Logarithmus heißt das, dass
Nun können wir nach auflösen:
Der Schnittpunkt hat also die Koordinaten
Lösung Teilaufgabe 1.3
Als Erstes wird die Funktion an der -Achse gespiegelt: alle Werte, die oberhalb der -Achse waren, befinden sich nach der Spiegelung unterhalb der -Achse; umgekehrt befinden sich alle Werte, die unterhalb der -Achse waren, nach der Spiegelung oberhalb der -Achse. Das erreicht man, indem man die Funktion mit multipliziert. Positive Werte werden dadurch negativ und negative Werte werden dadurch positiv.
Zum Beispiel gilt . Der Wert der gespiegelten Funktion an der Stelle beträgt, wenn man mit multipliziert, demnach .
Die gespiegelte Funktion hat also die Gleichung
Anschließend wird um parallel verschoben, d.h. wird um in -Richtung und um in -Richtung verschoben. Eine Verschiebung in -Richtung erreicht man indem man durch ersetzt (Achtung mit dem Vorzeichen, siehe auch diesen Artikel). Dadurch wird die ganze Funktion um nach rechts geschoben.
Verschiebung um in -Richtung:
Eine Verschiebung in -Richtung erreicht man indem man nun rechnet. Dadurch wird die ganze Funktion um nach oben verschoben.
Verschiebung um in -Richtung
Das entspricht genau der Gleichung von .
Die Funktion kann, genau wie , jeden Wert annehmen, der Wertebreich ist also ganz . Die gemachten Modifikationen (Spiegelung und Verschiebung) ändern daran nichts. Als Hilfestellung für die Zeichnung kann man wieder eine Wertetabelle für anfertigen:
x | -2,5 | -1,5 | -0,5 | 0,5 | 1,5 | 2,5 | 3,5 | 4,5 | 5,5 | 6,5 | 7,5 | 8,5 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
y | -3,21 | -0,5 | 0,76 | 1,59 | 2,21 | 2,70 | 3,12 | 3,47 | 3,78 | 4,05 | 4,30 | 4,52 |
Der Graph sieht wie folgt aus:
Lösung Teilaufgabe 1.4
1) Parallelogramm :
Die Punkte und erhält man, indem man für den Wert einsetzt. Das heißt
und
Den Punkt erhält man, indem man den Punkt um den Vektor , also in -Richtung und in -Richtung, verschiebt. Es gilt also
Da es sich um ein Parallelogramm handelt, erhält man den Punkt analog als Verschiebung von um den Vektor
2) Parallelogramm :
Um das Parallelogramm zeichnen zu können, verfährt man analog zu mit dem Wert . Man erhält demnach
Lösung Teilaufgabe 1.5
Eine Raute ist ein spezielles Parallelogramm, bei dem sich die Diagonalen im rechten Winkel treffen und alle Seiten gleichlang sind (siehe auch dieser Artikel über Rauten). Das können wir in dieser Teilaufgabe nutzen.
Wir wissen aus der Aufgabenstellung aus Teilaufgabe 1.4, dass . Die Länge der Strecke können wir also berechnen:
Da alle Seiten bei einer Raute gleichlang sein müssen, muss auch die Länge der Strecke sein. Es gilt und , wobei sein muss. Daher ist
und daher die Länge von
Nun gilt also
Addieren wir auf beiden Seiten nun gibt das
Nun können wir die Produktregel des Logarithmus anwenden und erhalten
Oder, anders geschrieben,
Die Klammern auf der rechten Seite können wir ausmultiplizieren
Das ist eine quadratische Gleichung, die wir mithilfe der Mitternachtsformel lösen können:
ergibt und Da für den Punkt gelten muss und wir wissen, dass sein muss, kann keine Lösung sein. Daher gilt
Lösung Teilaufgabe 1.6
Der Winkel befindet sich beim Punkt ; wir nennen ihn Der Winkel befindet sich beim Punkt ; wir nennen ihn Aus Teilaufgabe 1.4 wissen wir, dass Das können wir benutzen, um mithilfe des Tangens den Winkel zu berechnen:
Es gilt also Wenn der Winkel doppelt so groß wie sein soll, muss sein.
In einem Parallelogramm ergeben die beiden Winkel und zusammen siehe zum Beispiel dieser Artikel. Also muss gelten, dass Es kann also kein solches Parallelogramm geben.