In diesem Artikel lernst du die Eigenschaften von Wendepunkten und deren Spezialfällen, den Sattel- bzw. Terrassenpunkten, kennen.
Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einem Funktionsgraphen, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen ändert. Ist die Tangente durch diesen Punkt horizontal, so nennen wir ihn einen Terrassen- oder Sattelpunkt.
Anmerkung: In diesem Artikel wird als dreimal differenzierbar angenommen.
Wendepunkt
Definition
Ein Wendepunkt (WP) einer Funktion ist ein Punkt, an dem sich die Krümmungsrichtung des Graphen von ändert.
Dies ist gleichbedeutend dazu, dass sich das Vorzeichen der zweiten Ableitung in ändert.
Berechnung
Notwendiges Kriterium
Für jeden Wendepunkt einer Funktion gilt, dass . Die zweite Ableitung von gleich null zu setzen, liefert also Kandidaten für Wendepunkte.
Hinreichendes Kriterium
Wenn
- und zusätzlich
gelten, dann besitzt an der Stelle einen Wendepunkt.
Vorgehen
Um die Wendepunkte nun tatsächlich zu berechnen, geht man wie folgt vor:
- Berechne die ersten 3 Ableitungen , und von .
- Finde alle Nullstellen von .
- Für jede Nullstelle von prüfe, ob .Wenn ja ist ein Wendepunkt.Wenn nicht: Prüfe, ob bei das Vorzeichen wechselt.
- Gib die Wendepunkte in der Form an.
Beispielaufgabe
Gegeben sei die Funktion . Bestimme alle Wendepunkte.
Lösung: Um die Wendepunkte zu bestimmen, benötigt man die erste, zweite und dritte Ableitung:
Nun findet man heraus, an welchen Stellen die höheren Ableitungen gleich null werden:
Nach obigem Kriterium hat die Funktion Wendepunkte an den Stellen , da an diesen Stellen die zweite Ableitung gleich null und die dritte Ableitung ungleich Null ist.
Terrassenpunkt oder Sattelpunkt
Definition
Ein Terrassenpunkt (TEP) oder Sattelpunkt (STP) ist ein Wendepunkt, in dem die Steigung einer Funktion wird.
Berechnung
Zusätzlich zu den Bedingungen des Wendepunkts ist bei einem Terrassenpunkt auch noch die erste Ableitung .
- wechselt bei das Vorzeichen (gilt z.B., wenn )
Beispielaufgabe
Gegeben sei die Funktion . Bestimme alle Terrassenpunkte.
Lösung: Um die Wendepunkte zu bestimmen, benötigt man die erste, zweite und dritte Ableitung:
Nun findet man heraus, an welchen Stellen die jeweiligen Ableitungen gleich null werden:
- .
Nach obigem Kriterium hat die Funktion Terrassenpunkte an den Stellen , da an diesen Stellen die erste Ableitung gleich null, die zweite Ableitung gleich null und die dritte Ableitung ungleich Null ist.
