Die Varianz ist ein Maß für die Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert in der Stochastik.
Sie beschreibt die mittlere quadratische Abweichung der Werte der Zufallsvariablen zum Erwartungswert.
Die Varianz einer Zufallsgröße ist eng mit ihrer Standardabweichung verknüpft.
Berechnung für diskrete Zufallsvariablen
Für eine diskrete Zufallsgröße mit Erwartungswert , Werten und deren Wahrscheinlichkeiten berechnet man die Varianz, die man normalerweise mit oder bezeichnet, wie folgt.
Die Varianz berechnet sich also als Summe der Produkte von Wahrscheinlichkeit der Werte mit dem quadratischen Abstand zum Erwartungswert.
Berechnung für stetige Zufallsvariablen
Für eine stetige Zufallsvariable mit Erwartungswert , Werten in und Dichtefunktion berechnet man die Varianz, die man auch hier mit oder bezeichnet, wie folgt.
Die Varianz berechnet sich also als Integral über das Produkt des mittleren quadratischen Abstands zum Erwartungswert und der Dichtefunktion der Verteilung.
Rechenregeln
- Verschiebungssatz: ist hier eine Zufallsvariable, ihr Erwartungswert.
- Varianz von Summen von Zufallsvariablen. und sind hier zwei verschiedene Zufallsvariablen.
Allgemeine Formel
Für die Summe von verschiedenen Zufallsvariablen gilt:
- Linearität: und sind hier Konstanten und eine Zufallsvariable. , also auch und
Wichtige Varianzen
Verteilung | Dichte und Erwartungswert | Varianz |
|---|---|---|
; | ||
; | ||
; ist Erwartungswert. (Die Dichtefunktion der Normalverteilung wird bereits mit der Varianz angegeben.) |
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