1.0 Gegeben sind die Funktionen mit der Gleichung und mit der Gleichung ; ( x .
1.1 Geben Sie die Gleichung der Asymptote der Funktion an und zeichnen Sie die Graphen zu und für in ein Koordinatensystem.
Für die Zeichnung: Längeneinheit 1 cm;
1.2 Punkte liegen auf dem Graphen zu . Sie sind für zusammen mit Punkten , und Eckpunkte von Parallelogrammen . Die Punkte liegen auf dem Graphen zu und ihre x-Koordinate ist stets um 1 größer als die Abszisse x der Punkte .
Es gilt: .
Zeichnen Sie die Parallelogramme für und für in das Koordinatensystem zu 1.1 ein.
1.3 Bestätigen Sie durch Rechnung, dass für die Pfeile in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte gilt: .
1.4 Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt A der Parallelogramme in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte gilt: . Begründen Sie sodann, dass der Flächeninhalt der Parallelogramme stets kleiner als 16 FE ist.
1.5 Unter den Parallelogrammen gibt es das Rechteck . Begründen Sie, dass es sich bei dem Rechteck um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie sodann durch Rechnung die x-Koordinate des Punktes .
Lösung anzeigen
Lösung 1.1.
In dieser Aufgabe sollst du die Funktionsgraphen von und in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Fertige dir eine Wertetabelle an oder lass sie dir von deinem Taschenrechner erstellen, um die Graphen zu zeichnen. In folgender Wertetabelle wurden die Funktionswerte auf eine Nachkommastelle gerundet.
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
4,7 | 0,8 | -1,1 | -2,0 | -2,5 | -2,8 | -2,9 | -2,9 | -3,0 | -3,0 | -3,0 | |
6,8 | 4,4 | 3,2 | 2,6 | 2,3 | 2,2 | 2,1 | 2,0 | 2,0 | 2,0 | 2,0 |
Zeichne nun die Punkte aus der Wertetabelle in das Koordinatensystem ein und verbinde sie. Damit erhältst du die Funktionsgraphen.
Anhand des Graphen kann man die Asymptoten der Funktionen vermuten. Die Asymptote von ist . Die Asymptote von liegt bei .
Stimmen die Asymptoten?
Mathematisch ist es keine gute Begründung, etwas von einem Graphen abzulesen und dann zu meinen, dass die daraus entstandene Aussage stimmt. Theoretisch könnte die Asymptote von auch bei liegen, aber die Zeichnung ist zu ungenau, um das ablesen zu können. Du brauchst also eine Begründung, um zu zeigen, dass wirklich die Asymptote ist!
und sind Exponentialfunktionen, da nur im Exponenten der Funktionen vorkommt.
Eine Exponentialfunktion der Form mit , hat eine Asymptote bei .
Durch das Addieren einer Konstanten () verschiebt sich diese Asymptote nach oben () oder unten (). Ein Vorfaktor vor a oder Verschiebungen entlang der x-Achse ändern dies nicht ()
Da um nach unten verschoben wurde, ist ihre Asymptote .
Da um nach oben verschoben wurde, ist ihre Asymptote .
Lösung 1.2.
Zeichne das Parallelogramm in dein Korrdinatensystem ein. Die Animation zeigt dir wie das geht.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Zeichne noch das Parallelogramm ein wie in dieser Animation gezeigt wird.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Insgesamt bekommst du dadurch diese Zeichnung:
