3.0 Die Skizze unten zeigt den Axialschnitt eines Körpers mit der Rotationsachse . Diese Skizze dient als Vorlage zur Herstellung einer Sitzgelegenheit. Es gilt:
Runden Sie im Folgenden auf eine Stelle nach dem Komma.
3.1 Berechnen Sie die Längen der Strecken und .
[Ergebnisse: ]
3.2 Bestimmen Sie rechnerisch das Volumen des Rotationskörpers.
Lösung anzeigen
3.1
Zuerst berechnest du , dazu verwendest du den Tangens. Der Winkel liegt im Dreieck . Das Dreieck ist rechtwinklig mit Hypotenuse . Von aus gesehen ist die Ankathete und die Gegenkathete. Es gilt also die Gleichung:
Umstellen der Gleichung
Durch Umstellen der Gleichung erhältst du . Nun kannst du die Werte für und einsetzen. Die Lösung ist dann:
Die Strecke hat also die Länge .
Nun kannst du noch die Länge von berechnen, dazu verwendest du den 2.Strahlensatz für V-Figuren.
Mit dem Strahlensatz gilt nämlich:
ist halb so lang wie und den Wert von kannst du bestimmen, indem du die Gleichung danach auflöst:
Umstellen der Gleichung
Durch das Umstellen der Gleichung erhältst du .
Den Wert kennst du bereits aus der Angabe, hast du gerade berechnet. Jetzt fehlt dir nur noch der Wert für , dafür kannst du die Strecke in zwei Teilstücke aufteilen: .
Die Strecke ist kürzer als (wegen ), also gilt: , damit hast du also auch .
Zum Schluss kannst du jetzt die Werte einsetzen und erhältst:
Wenn du diesen Wert noch mit multiplizierst hast du das Ergebnis
3.2
Das Volumen des Rotationskörpers setzt sich zusammen aus dem Volumen des Kegelstumpfs, der durch Rotation des Trapezes entsteht, und dem Volumen des Zylinders, der durch Rotation des Rechtecks entsteht.
Zylinder
Der Radius des Zylinders ist und seine Höhe beträgt . Damit kannst du sein Volumen berechnen:
Kegelstumpf
Um das Volumen des Kegelstumpfs zu berechnen kannst du das Volumen des kleinen Kegels (Rotation von ) vom Volumen des gesamten Kegels (Rotation von ) abziehen.
Der kleine Kegel hat den Radius und die Höhe .
Der gesamte Kegel hat den Radius und die Höhe .
Durchs Einsetzen der Werte erhältst du:
Rotationskörper
Das Volumen des Rotationskörpers erhältst du jetzt, wenn du die beiden gerade berechneten Volumen addierst: