Untersuche auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
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Um den Betrag zu eliminieren muss eine Fallunterscheidung ( für x 0 und x < 0 durchgeführt werden.
Fall x 0
Da x 0 ist, kann der Betrag weggelassen werden.
Fall x<0
Da x < 0 ist wird -x für eingesetzt.
Stetigkeit
Für x>0 und x<0 ist f(x) stetig.
Untersucht werden muss nur der Fall x=0.
f(0) berechnen mit Fall x 0
Annäherung an 0 von links
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x<0 gilt.
0 einsetzen.
Annäherung an 0 von rechts
Es muss der Term ausgewählt werden, der für x>0 gilt.
0 einsetzen.
f ist bei 0 stetig .
Differenzierbarkeit
Es muss eine Fallunterscheidung für x durchgeführt werden.
Fall: x 0
Siehe Teilaufgabe a.
Erste Ableitung bilden.
Fall: x<0
Siehe Teilaufgabe a.
Erste Ableitung bilden.
Fall x=0
Das Verhalten der Steigung an der Stelle x=0 muss wegen des Betrages gesondert untersucht werden. Hierzu muss man für diesen Punkt die Ableitung durch Annäherung von links und rechts betrachten.
Bei Annäherung von links, muss betrachtet werden, da x<0.
Bei Annäherung von rechts, muss betrachtet werden, da x>0.
Nicht differenzierbar, da
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
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Fall: x 0
Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.
Benutze die 3. Binomische Formel um aufzulösen.
Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
Nur ist hier eine gültige Lösung, da >0.
Fall: x<0
Betragsfreie Darstellung aus Teilaufgabe a verwenden und gleich 0 setzen.
Benutze die 3. Binomische Formel um aufzulösen.
Lies die Nullstellen aus den Linearfaktoren ab.
Nur ist hier eine gültige Lösung, da <0.
Die Nullstelle der Funktion sind die Nullstellen der beiden Fälle miteinander vereinigt:
Bestimme die Wendepunkte und Art und Lage der Extrempunkte der Funktion.
Untersuche das Symmetrieverhalten des Graphen.
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-x für x einsetzen.
Achsensymmetrie zur y-Achse
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