Die Firma Habmichgern soll eine Brücke planen. Die Länge soll betragen.
Der Chef der Firma bittet dich, mithilfe der folgenden Funktionsgleichung die maximale Höhe der Brücke zu berechnen.
Lösung anzeigen
Die Idee hinter den Lösungsmethoden ist, dass der Scheitelpunkt der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel ist. Dass dies eine nach unten geöffnete Parabel ist, lässt sich an dem negativen Koeffizienten erkennen. Du lernst hier zwei Wege, um an diesen Punkt zu kommen.
1. Lösungsmethode
Scheitelpunkt herausfinden
Der Ansatz dieses Lösungsweges ist es, die Funktion in die Scheitelpunktsform umzuformen.
Die Scheitelpunktsform lautet: .
Du kannst zunächst ausklammern. Dies ist dein .
Du kannst nun den Wert für bestimmen, indem du die zweite binomische Formel anwendest.
Multipliziere in der Scheitelpunktsform aus.
Du erhältst:
Du kannst dir nun mithilfe von quadratischer Ergänzung den Term zu einer binomischen Formel konstruieren.
ist der erste Teil deiner binomischen Formel, also . Demnach ist .
Jetzt kannst du deine binomische Formel vervollständigen:
Doch damit du den Wert des Funktionsterms nicht verfälschst, musst du auch wieder abziehen.
Der vollständige Term lautet:
Setze den Term in den Funktionsterm ein:
Fehlerfalle
Denke daran, die Klammer richtig zu setzen!
Multipliziere die Klammer aus.
Lösung
Nun hast du die Scheitelpunktform, an dieser kannst du den Scheitelpunkt ablesen.
Die -Koordinate ist die Höhe des Brückenbogens, da der Scheitelpunkt der höchste Punkt der Parabel ist.
Also gilt: .
2. Lösungmethode
Ausnutzen der Achsensymmetrie
Der Brückenbogen ist an einer Senkrechte durch den Scheitelpunkt achsensymmetrisch. Das kannst du ausnutzen.
Dafür musst du zuerst die -Koordinate des Scheitelpunkts herausfinden. Wenn du die hast, kannst du auch die -Koordiante ausrechnen.
Finde die -Koordinate des Scheitelpunkts.
Der Scheitelpunkt befindet sich in der Mitte der langen Brücke. Also rechnest du:
Setze 30 für in der Funktion ein.
Löse die Funktion nach auf.
Nun kannst du in einsetzen.
Lösung
Die -Koordinate des Scheitelpunkts ist die maximale Höhe des Brückenbogens.
Das heißt:
Die Brücke ist an ihrem höchsten Punkt 18 Meter hoch.