Gib den Term einer (möglichst einfachen) gebrochen rationalen Funktion f an, die folgende Eigenschaften besitzt.
- Der Graph von berührt die x-Achse an der Stelle ;
- die Funktion hat die Polstelle .
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Überlege dir die Form einer gebrochen-rationalen Funktion und setze die 1. Bedingung ein. Da der Graph die x-Achse bei berührt, liegt dort eine doppelte Nullstelle.
Setze jetzt die 2. Bedingung ein. Es muss eine nicht-hebbare Definitionslücke bei geben.
Der Graph von f hat eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei und für die Asymptote
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Stelle eine allgemeine Form einer gebrochenrationalen Funktion auf:
Setze die 1. Bedingung ein (Polstelle ohne Vorzeichenwechsel bei 2)
Funktion bei 2 nicht definiert
Setze die 2. Bedingung ein (Asymptote bei 0,5), d. h. Zählergrad = Nennergrad und es muss einen Faktor 0,5 geben.
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle)
Der Graph von f hat Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei und und für die Asymptote
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Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=
Setze die 1. Bedingung ein: Polstellen mit Vorzeichenwechsel bei -1 und 2
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei
Zeichne eine Skizze der Funktion
Der Graph von f hat eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei , ist punktsymmetrisch zum Ursprung und hat für die Asymptote
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Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x)=
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle mit Vorzeichenwechsel bei -2
auch Polstelle bei 2, da Funktion punktsymmetrisch sein soll
Setze 2. Bedingung ein: punktsymmetrisch zum Ursprung
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
Der Graph von f hat eine Polstelle bei und ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Für hat der Graph die Asymptote und bei befindet sich eine Nullstelle.
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Allgemeine Form einer gebrochen rationalen Funktion: f(x) =
Setze die 1. Bedingung ein: Polstelle bei 0 und achsensymmetrisch
bei 0 nicht definiert (unter dem Bruch) und gerade Potenz
Setze die 2. Bedingung ein: Asymptote bei
Setze die 3. Bedingung ein: Nullstelle bei 2 und achsensymmetrisch.
Zeichne eine Skizze (mit Wertetabelle).
