Gegeben ist die Funktionenschar mit .
Das Schaubild zeigt den Graphen für .
Bestimme die Lage des Wendepunkts in Abhängigkeit vom Parameter .
Überzeuge dich davon, dass sich für die in der Abbildung gezeigte Lage des Wendepunktes ergibt.
Lösung anzeigen
Bestimme die Ableitung.
Kürze ein x und fasse dann Terme im Zähler zusammen.
Bestimme die 2. Ableitung , indem du ableitest.
Kürze , multipliziere aus und fasse Terme zusammen.
Setze die 2. Ableitung gleich Null, um Wendepunkte zu finden.
ist Null, wenn der Zähler der Funktion Null ist.
Umformung: +12
Umformung: :2
Nun benötigst du eine Fallunterscheidung, weil du nicht ohne weiteres durch teilen kannst. könnte auch Null sein und dann darfst du nicht dadurch teilen.
1. Fall: Für lautet deine Gleichung am Ende . Diese Gleichung ist für kein erfüllt. Also hat keine Wendestelle.
2. Fall: Wenn ist, bekommst du nun als Ergebnis. hat also eine Wendestelle bei .
Bestimme, wo die 2. Ableitung größer bzw. kleiner 0 ist, um das Krümmungsverhalten zu ermitteln.
Wenn ist:
rechtsgekrümmt in
linksgekrümmt in
Wenn ist:
linksgekrümmt in
rechtsgekrümmt in
Krümmungsverhalten zusammenfassend
Anzahl der Wendestellen | rechtsgekrümmt in | linksgekrümmt in | |
|---|---|---|---|
k=0 | keine | ||
k>0 | eine bei | ||
k<0 | eine bei |
Überprüfung der Lösung für k=3
Überprüfe, ob der Wendepunkt für übereinstimmt.
Bestimme den y-Wert des Wendepunktes, indem du den x-Wert in f(x) einsetzt
Gib den Wendepunkt an und überprüfe, ob er mit dem auf dem Bild übereinstimmt
Für ist der Wendepunkt
Stimmt mit Bild überein