Ein Punkt gleite auf der Strecke mit und .
Er ist die Spitze eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer festen Ecke im Koordinatenursprung.
Für welchen Punkt hat das Dreieck den größtmöglichen Flächeninhalt? Wie groß ist dieser?
Im nachfolgenden Applet kannst du - bevor du rechnest - experimentieren.
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Lösung anzeigen
Für das gleichschenklige Dreieck mit der Spitze gilt:
Grundlinie =
Höhe =
Für die Dreiecksfläche ergibt sich also:
Gib die Zielfunktion und die Nebenbedingung für die Extremumsaufagbe an.
Zielfunktion
Nebenbedingung
Der Punkt liegt auf der Strecke .
Ermittle die Geradengleichung .
allgemeiner Ansatz einer Geradengleichung:
Bestimme den y-Achsenabschnitt , indem du abliest, wo der Graph die y-Achse schneidet.
Bestimme die Steigung m, indem du ein Steigungsdreieck benutzt:
Gehe von irgendeinem Geradenpunkt nach rechts und lies ab, wie viele Einheiten du nach unten gehen musst, um wieder auf den Funktionsgraphen zu treffen.
Setze die Werte und in die Funktionsgleichung ein.
Gib noch den Definitionsbereich an, mit dem die Gerade auf die Strecke begrenzt wird.
Gib nun die Nebenbedingung als Funktionsgleichung für den Punkt an.
Nebenbedingung
Zielfunktion
Setze der Nebenbedingung in die Zielfunktion ein.
Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel.
Ihr Maximum lässt sich über die Scheitelform durch eine quadratische Ergänzung ermitteln.
Lies den Scheitelpunkt ab.
Gib die Bedeutung der Koordinaten des Scheitelpunktes an.
Bei ist der Flächeninhalt und dies ist der gesuchte größtmögliche Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks.
Bestimme aus der Nebenbedingung den y-Wert des Punktes .
Gib den gesuchten Punkt und den maximalen Flächeninhalt in einem Antwortsatz an.
Für den Punkt ist der Flächeninhalt des darunterliegenden Dreiecks maximal und er beträgt .
Weitere Lösungsmöglichkeit über die Ableitung von
Setze gleich Null und löse nach auf.
Umformung: +3x_P
Umformung: :3
Setze den Wert in und in die Nebenbedingung ein und du hast die Lösung der Aufgabe.