Berechne den Abstand der Gerade zur Ebene.
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Lösung mit Hessescher Normalenform
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit multipliziert wird.
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft () kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes von der Ebene bestimmt werden.
Setze in ein:
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
,
Stelle eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene . Setze dazu die Geradengleichung in die gegebene Ebenengleichung in Normalenform ein.
Vereinfache.
Berechne das Skalarprodukt.
Multipliziere die Klammern aus.
Fasse zusammen.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :11
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Berechne den Abstand der Punkte und .
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
,
Lösung anzeigen
Lösung mit Hessescher Normalenform
Wandle die Ebene in Normalenform um:
Berechne den Normalenvektor:
Erstelle von der Ebene die Hessesche Normalenform, indem die Ebenengleichung mit multipliziert wird.
Da die Gerade parallel zur Ebene verläuft () kann der Abstand der Geraden zur Ebene durch den Abstand eines Punktes von der Geraden z.B. des Aufpunktes von der Ebene bestimmt werden.
Setze in ein:
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .
Lösung ohne Hessesche Normalenform mit einer Hilfsgeraden
,
Wandle die Ebene in Koordinatenform um:
Berechne den Normalenvektor, um die Ebene zunächst in Normalenform umwandeln zu können.
Wandle die Ebene in Koordinatenform um.
Stelle nun eine Hilfsgerade auf, die durch den Aufpunkt der Geraden verläuft und die orthogonal zur Ebene liegt.
D.h. der Normalenvektor der Ebene ist der Richtungsvektor der Hilfsgerade .
Bestimme den Schnittpunkt der Hilfsgeraden mit der Ebene .
Multipliziere die Klammern aus.
Fasse zusammen.
Umformung: -1
Löse nach auf.
Umformung: :50
Setze in die Hilfsgerade ein, um den Schnittpunkt zu bestimmen.
Berechne den Abstand der Punkte und .
Antwort: Der Abstand der Geraden zur Ebene beträgt .