Bestimme die Schnittmenge der beiden in Parameterform gegebenen Ebenen.
und
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
zusätzliche graphische Darstellung
und
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und passend zusammengefasst.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Der Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen und lautet:
zusätzliche graphische Darstellung
und
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und zu einer Gleichung zusammengefasst.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Das bedeutet, dass es keine Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen gibt, d.h. die beiden Ebenen sind parallel zueinander.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
zusätzliche graphische Darstellung
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert und nach einem Parameter aufgelöst.
4) Dieser Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und passend zusammengefasst.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln.
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Der Parameter wird in die Ebenengleichung eingesetzt und es wird zusammengefasst.
Antwort: Die Gleichung der Schnittgeraden der beiden Ebenen und lautet:
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine wahre Aussage unabhängig von den Werten der Parameter. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen identisch sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind identisch.
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Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Wandle z.B. die Parameterform der Ebene in eine Normalenform um.
2) Setze dann den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein und fasse zusammen was zusammengefasst werden kann.
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
1) Parameterform der Ebene in eine Normalenform umwandeln
Berechne den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Wähle einen beliebigen Punkt mit dem Ortsvektor , der in der Ebene liegt. Hier z.B. den Aufpunkt der Ebene:
Setze die Vektoren und in die allgemeine Normalenform ein:
2) Setze den allgemeinen Ortsvektor der Ebene in die Normalenform ein.
Fasse die Vektoren in der eckigen Klammer zusammen:
3) Das Skalarprodukt wird mit Hilfe des Distributivgesetzes ausmultipliziert.
Berechne nun die einzelnen Skalarprodukte:
4) Anhand der erhaltenen Gleichung erkennst Du welche der drei möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen eintritt.
Du hast die Gleichung erhalten. Dies ist eine falsche Aussage. Es gibt keine gemeinsame Schnittmenge zwischen den beiden Ebenen. Das bedeutet, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind.
Antwort: Die beiden Ebenen und sind parallel zueinander.
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