Berechne in Abhängigkeit von Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers, der durch Rotation der Figur um die Achse entsteht.
Wie groß muss sein, damit das Volumen 1 Liter beträgt?
Lösung anzeigen
Der Rotationskörper , der durch Drehung der skizzierten Figur um die Achse entsteht, ist die Kombination eines Kegels mit Höhe und Radius und einer Halbkugel mit Radius .
Das Volumen des Rotationskörpers bestimmt sich hier als Summe der Volumina von Kegel und Halbkugel.
Die Oberfläche des Rotationskörpers ist gegeben als Summe der Mantelfächen von Halbkugel und Kegel.
Berechnung des Volumens
Mit den Formeln für das Volumen eines Kegels und das Volumen einer Halbkugel gilt:
Das Volumen des Rotationskörpers beträgt also .
Somit impliziert folgende Bedingung an :
Berechnung der Oberfläche
Mit den Formeln für die Mantelfläche eines Kegels und die Mantelfläche einer Halbkugel gilt:
,
wobei sich die Mantellinie als Hypotenuse des rechtwinkligen Dreicks mit Radius und Höhe als Katheten darstellt.
Die Oberfläche des Rotationskörpers beträgt also .