Beweise, dass in jedem Dreieck der größmögliche Inhalt einbeschreibbarer Rechtecke gleich der halben Dreiecksfläche ist.
Hinweis zur Einbeschreibungsaufgaben
Ein Rechteck einer anderen geometrischen Figur "einzubeschreiben", bedeutet, dass alle Eckpunkte des Rechtecks auf Randlinien der größeren Figur liegen sollen.
Wenn ein Rechteck einem Dreieck einbeschrieben ist, muss wenigstens eine Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite liegen.
Bei einem rechtwinkligen Dreieck können zwei Rechtecksseiten auf den Katheten liegen.
In stumpfwinkligen Dreiecke können Rechtecke nur über der längsten Dreiecksseite einbeschrieben werden.
Lösung anzeigen
Bei dieser Aufgabe geht es um die Extremwerte von in Dreiecken einbeschriebenen Rechtecken.
Es ist nachzuweisen, dass alle in ein Dreieck einbeschreibbaren Rechtecke den gleichen maximalen Inhalt, nämlich die halbe Dreiecksfläche haben.
Mache dir zunächst eine anschauliche Vorstellung von der Bedeutung der Behauptung, indem du im nachfolgenden Applet die 6 Gleiterpunkte , . . . , verschiebst.
Du verstehst dabei auch, wie und wo in den verschiedenen Dreiecksformen - spitzwinklig, rechteckig, stumpfwinklig - Rechtecke einbeschrieben werden können.
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Beweis der Behauptung
Dem Applet entnimmst du anschaulich:
Jedes der von den Punkten bis ausgehende einbeschriebene Rechteck liegt mit einer Rechtecksseite auf einer Dreiecksseite. Die Längen der Rechtecksseiten seien und .
Jedes Rechteck erzeugt eine Strahlensatzfigur.
Die Zielfunktion eines jeden Rechtecks für seinen maximalen Inhalt lautet:
,
Die Nebenbedingung ergibt sich aus dem Strahlensatz. Wende diesen an.
Mit dem Strahlensatz gilt:
wobei eine beliebige Dreiecksseite und die zugehörige Dreieckshöhe ist.
Löse die Gleichung nach auf.
Setze in ein.
Bilde .
Setze gleich Null.
Überzeuge dich, dass negativ ist. Dann ergibt sich ein maximaler Flächeninhalt.
Setze in die Nebenbedingung ein, um auch die 2. Rechtecksseite zu erhalten.
Setze und in die Zielfunktion ein.
Vergleiche die berechnete maximale Rechtecksfläche mit der Dreiecksfläche.
Ergebnis
Jedes in ein Dreieck einbeschriebene Rechteck liegt mit einer Seite auf einer Dreiecksseite. Die flächenmäßig größten einbeschreibbaren Rechtecke haben den Flächeninhalt "1/4 mal Grundlinienlänge mal zugehörige Höhe".
Damit sind sie - auch wenn sie über verschiedenen Dreiecksseiten errichtet worden sind - gleich groß und zwar gerade halb so groß wie die Dreiecksfläche.
Ergänzung
Da - außer in gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken - eine Dreiecksseite und ihre dazugehörige Höhe verschieden sind - können die maximalen einbeschriebenen Rechtecke - außer in gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecken - keine Quadrate sein.
Lasse im nachfolgenden Applet durch eine geeignete Verschiebung des Gleiterpunktes solch einen Sonderfall einer einbeschriebenen Quadratfläche entstehen.
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