Gib die Definitionsmenge an und bestimme eine äquivalente bruchtermfreie Gleichung von der folgenden Bruchgleichung:
(Du brauchst die bruchtermfreie Gleichung nicht zu lösen!)
Lösung anzeigen
Tipp: Es könnte helfen die linke Seite auf einen Nenner zu schreiben.
Um die Definitionsmenge zu bestimmen musst du alle Nenner gleich setzen.
Über Kreuz Multiplikation ist eine Äquivalenzumformung, wenn man die richtige Definitionsmenge betrachtet.
Bruchgleichungen
Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen: Du sollst
- die Definitionsmenge bestimmen, und
- die Gleichung bruchtermfrei machen.
Definitionsmenge
Bestimme zunächst die Definitionsmenge der Bruchgleichung. Dazu schaust du dir die Nenner explizit an und schaust für welche Zahlen sie werden:
Für und ist die Gleichung nicht definiert. Also musst du sie aus der Definitionsmenge rausnehmen.
Die Definitionsmenge ist also: , falls die Grundmenge ist, und , falls die Grundmenge ist.
Umformen in bruchtermfreie Gleichung
Jetzt sollst du die Gleichung bruchtermfrei machen.
Du musst hier also zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe auf einen Nenner.
Um eine Bruchgleichung bruchtermfrei zu machen kannst du zum Beispiel die Nenner über Kreuz multiplizieren.
Du kannst hier zunächst die linke Seite zu einem Bruch umformen. Bringe auf einen Nenner.
Addiere
Nun kannst du das Verfahren zum über Kreuz multiplizieren anwenden.
Diese Gleichung enthält keine Brüche. Da wir und aus der Definitionsmenge rausgenommen haben, haben wir insbesondere nicht mit der multipliziert.
Somit ist äquivalent zu .
Lösung der bruchtermfreien Gleichung
(in der Aufgabenstellung nicht gefordert)
linke Seite zusammenfassen
Alles auf eine Seite und somit 0 setzen.
Diskriminante berechnen.
Wegen D < 0 hat die quadratische Gleichung keine Lösungen und damit hat auch die Bruchgleichung keine Lösungen!