Untersuche den Graphen der Funktion f mit , auf Stellen (lokal) stärkster Zu- oder Abnahme der Funktionswerte
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Da es sich um die stärkste Zu- oder Abnahme handelt, untersuchst du die Ableitung (die die Zu- und Abnahme beschreibt). Genauer suchst du...
- ...die Hochpunkte des Graphen der Ableitung, die über der x-Achse sind (lokal stärkste Zunahme)
- ...die Tiefpunkte des Graphen der Ableitung, die unter der x-Achse sind (lokal stärkste Abnahme)
Handelt es sich dabei um globale (absolute) Hoch- oder Tiefpunkte, so ist es eine Stelle global stärkster Zu- oder Abnahme.
Du musst also die 1. Ableitung auf Art und Lage der Extremstellen untersuchen.
Ableitung bestimmen
Bilde die 1. Ableitung der Funktion :
Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung suchen
Du suchst die Kandidaten für Extremstellen der 1. Ableitung (Achtung! Nicht von f selbst!).
Das sind die Stellen mit waagerechten Tangenten, also der Steigung 0.
Die 2. Ableitung beschreibt das Steigungsverhalten der 1. Ableitung:
Umformung: -6
Die Vielfachheit der Nullstelle ist 1, deshalb handelt es sich um eine Extremstelle von (und nebenbei um eine Wendestelle von )
Art der Extremstelle
Die Art der Extremstelle kannst du zum Beispiel über eine Monotonietabelle bestimmen (alternativ über eine Skizze von oder die 3. Ableitung).
x<-3 | x=-3 | -3<x | |
|---|---|---|---|
Vorzeichen | - | 0 | + |
Verlauf | TIP |
Konzentriert bleiben!
In der Tabelle wir das Vorzeichen von und der Verlauf von betrachtet. Vermutlich hast du in der Vergangenheit häufig die Monotonietabelle für f (mit dem Vorzeichen von und dem Verlauf von ) oder die Krümmungstabelle für f (mit dem Vorzeichen von und dem Verlauf von ) gemacht.
Der Graph der 1. Ableitung hat nur eine Extremstelle. Einen Tiefpunkt bei
Lage des Extrempunkts
Du weißt nun, dass bei ein Tiefpunkt liegt. Allerdings liegt hier nur eine Stelle lokal stärkster Abnahme vor, wenn der Graph tatsächlich zu diesem Zeitpunkt auch fällt. Das bedeutet, dass der Tiefpunkt von unter der x-Achse liegen muss, also
Der Graph fällt für auch tatsächlich.
Folgerung lokal stärkste Abnahme
Da es sich beim Tiefpunkt von um einen Tiefpunkt unter der x-Achse handelt, hat der Graph dort zumindest eine Stelle lokal stärkster Abnahme.
Global stärkste Zu- oder Abnahme
Der Graph der Ableitung hat nur einen Extrempunkt, den gerade erwähnten Tiefpunkt. Der Graph der Ableitung ist also eine nach oben geöffnete Parabel.
Damit ist der Tiefpunkt der globale (absolute) Tiefpunkt der Ableitung und somit hat bei x=-3 eine Stelle global stärkster Abnahme.
Es gibt keinen (lokalen oder globalen) Hochpunkt bei und deshalb auch keine Stelle global stärkster Zunahme bei .