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"Bestimme das Verhalten der Funktion für " heißt:

Gesucht ist

• der Grenzwert, an den sich die Funktionswerte von annähern,
• wenn der -Wert gegen geht.

also der .

Entsprechend gilt: "Bestimme das Verhalten der Funktion für " heißt:

Gesucht ist der . (Manchmal schreibt man auch nur .)

Betrachte :

• ist eine gebrochen-rationale Funktion.
• Im Zähler steht ein Polynom vom Grad 2, im Nenner ein Polynom vom Grad 1.

Zählergrad = 2, Nennergrad = 1

und damit ist der Zählergrad ("ZG") größer als der Nennergrad ("NG").

kann daher im Unendlichen nur gegen oder gehen, nicht aber gegen irgendeine reelle Zahl.

ZG > NG oder

Genauso gilt: ZG > NG oder

ABER:

Ob oder ist, kann man auf diesem Weg nicht herausfinden. (Entsprechendes gilt natürlich auch für . )

Bei dieser Aufgabe ist es somit nicht möglich, mit der Argumentation über Zählergrad und Nennergrad bereits die beiden Grenzwerte zu ermitteln.

Anmerkung: Allerdings kann man so erkennen, dass keine waagrechte Asymptote hat. Denn wenn eine waagrechte Asymptote hätte,

• müsste diese Asymptote eine Gleichung der Form für eine reelle Zahl haben,
• und es müsste oder sein.

hat aber eine schräge Asymptote, denn es gilt: ZG = NG+1.

Ebenso führt man die Rechnung für durch:

Ergebnisse:

Führe mit dem Bruch eine Polynomdivision durch.

Ergebnisse:

Da und , also sowohl der Zähler, als auch der Nenner, gegen streben, kann die Regel von de L'Hospital angewandt werden:

Wir definieren den Zähler und den Nenner als eigene Funktionen:

und und leiten diese im Rahmen der Regel von de L'Hospital ab:

Da nun der Zähler gegen strebt und der Nenner eine Konstante ist, strebt die gesamte Funktion gegen . Für kann analog vorgegangen werden.

Ergebnisse: