Prüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind.
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Die Vektoren und sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen finden kannst, sodass und und nicht beide gleichzeitig sind.
Setz die gegebenen Vektoren ein.
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen und .
Löse das lineare Gleichungssystem.
. Das bedeutet, das Gleichungssystem ist nur gelöst für und somit sind und linear unabhängig.
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Die Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer als Linearkombination des anderen darstellen lässt:
Es gibt aber kein a, so dass in der zweiten Zeile eine wahre Aussage ensteht:
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Die Vektoren und sind linear unabhängig, wenn du zwei Zahlen finden kannst, sodass und und nicht beide gleichzeitig sind.
Setz die gegebenen Vektoren ein.
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen und .
Löse das lineare Gleichungssystem.
Umformung: +3a
Umformung: :3
Setze nun in ein.
Setze ein.
Vereinfache
Die Gleichung ist immer erfüllt. Also müssen und nur die Gleichung erfüllen. Für beispielsweise und ist die Gleichung also erfüllt und somit sind und linear abhängig.
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Löse das Gleichungssystem
Die erste Gleichung liefert:
Umformung: :(-3)
Setze in die zweite Gleichung ein:
Dies ist eine wahre Aussage.
Also lässt sich als Linearkombination von darstellen und die beiden Vektoren sind linear abhängig.
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Die Vektoren , und sind linear unabhängig, wenn du drei Zahlen finden kannst, sodass
und , und gleichzeitig sind.
Setze die gegebenen Vektoren ein.
Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem mit den Variablen , und .
Löse das lineare Gleichungssystem zum Beispiel mit dem Additionsverfahren.
Rechne:
Rechne:
Setze in ein
Setze und in ein
Es ist also . Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst für und somit sind , und linear unabhängig.
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Löse das lineare Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren.
Umformung: -3a-4b
Umformung: :2
Setze z.B. in ein.
Setze in ein.
Vereinfache.
Umformung: -3b
Umformung: :5
Setze und in ein.
Setze ein.
Setze ein.
Löse die Klammern auf.
Umformung: :(-9,6)
Daraus ergibt sich:
und
. Das bedeutet, das Gleichungssystem wird nur gelöst für und somit sind , und linear unabhängig.
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Löse alternativ für linear unabhängige , die Gleichung:
Löse das überbestimmte Gleichungssystem
Ignoriere dazu eine der Gleichungen, z.B die zweite Gleichung. Hier wird das Additionsverfahren verwendet:
Daraus ergibt sich
Setze in I) ein:
Umformung: -\frac 8 7
Umformung: :3
Zur Probe setzt du in die übrige Gleichung II ein:
Das System hat also keine Lösung und die drei Vektoren sind somit linear unabhängig.