Die Periode einer Dezimalzahl mit unendlichen Nachkommastellen ist eine Folge von Ziffern, die sich unendlich oft wiederholt.
Als Zeichen für die Periode verwendet man einen waagrechten Strich über den Ziffern, die sich wiederholen.
Beispiel | Sprechweise |
|---|---|
Der Bruch hat die Periode 3. | Man liest die Dezimalzahl als: Null Komma Periode 3. |
Der Bruch hat die Periode 16. | Man liest sie als: Null Komma Periode 16. |
Der Bruch hat die Periode 6 (nicht 16) | Man liest sie als: Null Komma 1 Periode 6. |
Der Bruch hat die Periode 285714. | Man liest sie als: Null Komma Periode 285714 |
Der Bruch hat keine Periode. | Man liest sie als: Null Komma sieben fünf |
Reinperiodische Dezimalzahlen
Als reinperiodische Dezimalzahlen bezeichnet man Zahlen, bei denen die Periode direkt hinter dem Komma beginnt.
Gemischtperiodische Dezimalzahlen
Als gemischtperiodische Dezimalzahlen bezeichnet man periodische Zahlen, bei denen zwischen dem Komma und der Periode noch eine oder mehrere Zahlen stehen, d.h. die Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma.
Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch
Eine periodische Dezimalzahl lässt sich auch immer als Bruch schreiben. Wie man von der Dezimalzahlschreibweise auf die Bruchschreibweise kommt, kann man im Artikel Umrechnen von Dezimalzahlen in Brüche nachlesen.
Satz über die Länge einer Periode
Begründung
Man betrachtet jetzt nur Brüche, die eine periodische Dezimalzahldarstellung haben. Wenn man von der Bruchdarstellung auf die (periodische) Dezimalbruchdarstellung wechseln will, kann man einfach den Zähler durch den Nenner schriftlich dividieren. Diese Division geht nicht auf und es bleiben Reste übrig. Diese können nur die Zahlen sein, die kleiner als der Nenner sind, ausgenommen der . Warum? Wäre es die Null, würde die Division aufgehen und man erhielte keinen periodischen Bruch (was hier aber gerade angenommen wird). Wäre der Rest größer oder gleich dem Nenner, hätte man bei der Division einen Fehler gemacht, da dann der Divisor (also in diesem Fall der Nenner) noch einmal mehr in den Dividenden hineinpassen würde. Es können nur Reste auftauchen, die mindestens eins kleiner als der Nenner sind. Taucht ein Rest nochmals auf, wiederholt sich die Division ab dieser Stelle. Der Bruch wird also periodisch. Die Länge der Periode des Dezimalbruchs kann also nur "Nenner minus "-lang sein.
Am letzten Beispiel sieht man deutlich, dass der Satz nur eine Aussage über die maximale Periodenlänge macht (und nicht über die exakte Periodenlänge).
Der Satz gilt übrigens in sämtlichen Stellenwertsystemen. wäre z.B. unser im Heptadezimalsystem.
Eindeutigkeit der Dezimaldarstellung
Man ist aus der Mathematik gewohnt, dass diese eine exakte und damit eindeutige Wissenschaft ist. Bei der Dezimalbruchschreibweise tritt nun eine Uneindeutigkeit auf. Es gilt nämlich:
Man kann die 1 durch zwei unterschiedlichen Dezimalzahlen darstellen: Durch die bekannte 1 und durch .
Begründung
.
Weitere, auch für Schüler*innen verständliche, Beweise findet man auf der Wikipedia
Viele anderen Zahlen haben natürlich auch mehrdeutige Darstellungsmöglichkeiten als Dezimalzahl:
- usw.
Unendlich viele, nichtperiodische Nachkommastellen
Es gibt auch Dezimalzahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben, die sich aber nicht periodisch wiederholen. Solche Zahlen nennt man irrationale Zahlen. Diese sind in den reellen Zahlen enthalten.