Die Kreiszahl ist eine der wichtigsten Konstanten in der Mathematik.
Näherungsweise ist . ist das Verhältnis zwischen dem Umfang eines Kreises und dessen Durchmesser.
Es gilt .
Übungen zum Verständnis
Konstruiere die Kreise mit Radius , , und und miss jeweils den Kreisumfang. Erstelle eine Wertetabelle mit jeweiligem Durchmesser und Umfang. Trage die Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, die Durchmesser auf der x-Achse, die Umfänge auf der y-Achse.
Welcher Graph ergibt sich? (abgesehen von Messungenauigkeiten)
Wie passt dieser Graph zur Beziehung ?
Miss Durchmesser und Umfang weiterer Kreisformen aus dem Alltag, z. B. Klebebandrollen, Teller, usw. und berechne ihr Verhältnis.
Formeln mit
Flächeninhalt eines Kreises | |
|---|---|
Umfang eines Kreises |
Übungsaufgaben
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Eingebetteter Serlo-Inhalt
Weitere Übungsaufgaben: Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen
Die Irrationalität von
ist irrational. Das heißt, man kann nicht als Bruch aus ganzen Zahlen und schreiben.
Das bedeutet, dass unendlich viele Nachkommastellen hat, die sich nicht periodisch wiederholen.
Rechts sieht man die ersten Nachkommastellen von .
3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091 ...
Bestimmung von
Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten anzunähern (= immer genauer zu berechnen). Eine Möglichkeit ist die Monte-Carlo-Methode.
- Man zeichnet zuerst einen Kreis mit Radius in ein Quadrat mit Seitenlänge ein.
- Dann lässt man den Computer zufällig Punkte in dem Quadrat erzeugen. (Man kann sich das vorstellen, als würde man aus einer ausreichenden Höhe einen Stift immer wieder auf ein Blatt Papier fallen lassen, auf dem ein Quadrat und ein Kreis gemalt sind.)
- Man zählt dann, wie viele Punkte auf den Kreis und wie viele auf das gesamte Quadrat fallen.
Hat der Kreis den Radius , gilt für den Flächeninhalt vom Kreis und vom Quadrat .
Das Verhältnis der zufälligen Punkte im Kreis zu den Punkten im Quadrat entspricht ungefähr dem Verhältnis der Flächen:
Das Ergebnis weicht weniger als von ab. Möchte man ein genaueres Ergebnis, braucht man noch mehr zufällige Punkte.