Eine oben offene zylinderförmige Dose mit dem Volumen V soll aus Blech hergestellt werden. Dabei soll der Blechverbrauch möglichst gering sein. Bestimme die Höhe und den Durchmesser der Dose, sowie den minimalen Blechverbrauch.
Lösung anzeigen
Wir suchen aus allen Konservendosen mit Volumen V diejenige mit minimalem Oberflächeninhalt.
Volumenformel: (Grundseite mal Höhe) wobei die Grundseite eines Zylinders ein Kreis ist, d.h. .
Oberflächeninhalt eines Zylinders ist gegeben durch .
- Zielfunktion bestimmen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren. Unsere Funktion ist von r und h abhängig. .
- Nebenbedingungen formulieren und einsetzen: Der Oberflächeninhalt des Zylinders ist zu minimieren unter der Bedingung, dass das Volumen erhalten bleibt. Wir können nun also die Höhe in Abhängkeit vom Radius ermitteln, indem wir die Formel nach h auflösen. Es ergibt sich die Nebenbedingung . Einsetzen in die Zielfunktion ergibt: . Unsere Zielfunktion hängt jetzt nur noch von r ab, also können wir auch schreiben .
- Für die Extremalfunktion den Definitionsbereich bestimmen: . Allerdings muss r > 0 sein.
- Wir suchen das Minimum von mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung.
Erste Ableitung
Zweite Ableitung
Für ein mögliches Minimum muss die erste Ableitung gleich Null werden. Setze also gleich .
Einsetzen in die 2. Ableitung ergibt:
Also liegt tatsächlich ein Minimum vor an dieser Stelle.
Lösung
Den minimale Oberflächeninhalt erhält man für die Dose mit dem Radius . Also ist der Durchmesser . Die Höhe h erhält man aus der Nebenbedingung durch einsetzen von , also
Der minimale Oberflächeninhalt ist (Einsetzen in die Zielfunktion.)