Ein heißes Getränk wird zur Abkühlung ins Freie gestellt. Nach Minuten beträgt die Temperatur des Getränks . Die Funktion mit der Gleichung mit beschreibt näherungsweise den Abkühlvorgang in den ersten Minuten.
Ergänzen Sie die Wertetabelle auf Ganze gerundet und zeichnen Sie sodann den Graphen zu in das Koordinatensystem ein.
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Zeichnen der Funktion
Die Wertetabelle füllst du aus, indem du die Werte für in die Funktion einsetzt und den Wert im Taschenrechner berechnest. Anschließend sollst du die Werte noch auf zwei Nachkommastellen runden.
Du solltest auf die folgenden Ergebnisse kommen:
Anschließend zeichnest du für jeden Tabelleneintrag einen Punkt in das Koordinatensystem ein. Die - und -Werte kannst du direkt ablesen.
Verbinde diese Punkte anschließend möglichst fließend. Zeichne den Graphen noch ein Stück über den letzten Punkt hinaus!
Geben Sie an, um wie viel Prozent das Getränk pro Minute kälter wird.
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Untersuchung des Wachstumsfaktors
Aus dem Kapitel zu Exponentialfunktionen weißt du, dass der Wachstumsfaktor der Funktion ist. Da dieser ist, liegt eine Abnahme vor. Das kannst du auch an der Abbildung erkennen. Die Dezimalzahl entspricht . Nach Minuten beträgt die Temperatur also nur noch der Temperatur, die nach Minuten gemessen wurde. Sie nimmt also um ab.
Ermitteln Sie mithilfe des Graphen zu , nach wie vielen Minuten die Temperatur des Getränks noch beträgt
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Graphische Lösung
Die Funktion gibt die Temperatur nach Minuten an. Um die Anzahl an Minuten am Graphen ablesen zu können benötigst du eine Gerade bei . Dort wo diese deine Funktion trifft liest du den -Wert ab. Dieser -Wert bezeichnet die Anzahl der Minuten.
Der Schnittpunkt hat den -Wert . Somit ist die Temperatur des Getränks nach ca. auf abgesunken.
Um wie viel Prozent ist die Temperatur des Getränkes nach sechs Minuten insgesamt gesunken? Kreuzen Sie den zutreffenden Wert an.
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Berechnung des Wachstumsfaktors
Da die den Wachstumsfaktor nach Minuten angibt, reicht es, die für das einzusetzen. . Daraus ergibt sich sofort der Wachstumsfaktor , also eine Abnahme um (siehe Teilaufgabe b). Warum ist dies so? Man könnte die Rechnung auch durchführen . Nach Minuten beträgt die Temperatur also etwa . Um den prozentualen Anteil auszurechnen, muss man die übrige Temperatur also durch die Anfangstemperatur teilen. . Man multipliziert also anfangs mit der , später teilt man wieder durch , um den Wachstumsfaktor auszurechnen, reicht es also zu berechnen.