Gegeben ist die Funktion .
Bestimme die Gleichung der Tangente an der Stelle .
Lösung anzeigen
Da die Tangente eine Gerade ist, machst du für sie den Ansatz für eine lineare Funktion, nämlich .
Ansatz:
In diesem Ansatz musst du und bestimmen.
Zuerst berechnest du :
- ist die Steigung der Tangente.
- Die Tangente hat an der Stelle x=7 die Steigung der Funktion ,
- und diese Steigung bestimmt man mit Hilfe der Ableitung von .
Setze in diese Ableitung ein und berechne so die Steigung der Tangente.
Dieses kannst du nun in den Ansatz einsetzen und erhältst:
Nun musst du noch bestimmen.
- Dazu brauchst du einen Punkt, der auf der Geraden liegt, und den du in den Ansatz einsetzen kannst.
Dafür kommt natürlich nur der Punkt bei in Frage, an dem die Tangente den Graphen von berührt.
Da auf dem Graphen von liegt, erhältst du den -Wert von dadurch, dass du
- in einsetzt.
Der Punkt hat also die Koordinaten:
- Setze in die Geradengleichung ein.
Löse diese Gleichung nach auf, um den -Achsenabschnitt der Tangente zu berechnen.
Dies setzt du in den Ansatz für die Tangente ein, wobei du nun wieder und (und nicht mehr die Koordinaten von ) schreibst.
Damit erhältst du die gesuchte Tangentengleichung.
Die Tangentengleichung ist gegeben durch die Gleichung: