Im Labor wird eine Maispflanze beobachtet, um den Wachstumsverlauf zu erforschen. Dazu beginnen die Forscher ihre Aufzeichnungen mit einem Setzling zum Zeitpunkt t=0 und messen die Höhe der Pflanze kontinuierlich über die nächsten sieben Monate.
Die folgende Funktion konnten die Forscher dabei aufzeichnen:
Die Funktion kann modellhaft durch die Funktion beschrieben werden.
Dabei ist die Zeit in Monaten, die seit Beobachtungsbeginn vergangen ist.
ist die Höhe zur Zeit in Metern, die die Maispflanze groß ist.
Berechne die Größe in Zentimeter des Setzlings zu Beginn der Beobachtung!
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Berechnung der Anfangshöhe des Setzlings
Um die Höhe des Setzlings zum Anfangszeitpunkt herauszufinden musst du den Funktionswert der Funktion zum Zeitpunkt berechnen.
Setze dazu in ein.
Berechne diesen Wert anschließend.
Rechne diesen Wert anschließend in Zentimeter um.
Der Setzling ist zu Anfang der Aufzeichnung hoch.
Berechne, wie viele Zentimeter die Maispflanze in den ersten sechs Wochen nach Aufzeichnungsbeginn gewachsen ist!
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Wachstum der Pflanze in sechs Wochen
Um das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen (=1,5 Monate) herauszufinden musst du die Differenz der Höhe nach sechs Wochen und der Anfangshöhe bilden.
Den Funktionswert der Anfangshöhe hast du bereits in der Aufgabe berechnet.
Du benötigst nun noch den Funktionswert der Höhe nach sechs Wochen.
Rechne diese Höhe in Zentimeter um!
Anschließend kannst du das Wachstum der Pflanze in den ersten sechs Wochen berechnen:
Die Pflanze ist innerhalb der ersten sechs Wochen nach Beobachtungsbeginn gewachsen.
Zu welchem Zeitpunkt ist das Wachstum der Pflanze maximal?
Bestimme die Wachstumsrate zu diesem Zeitpunkt in Zentimeter pro Tag!
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Maximale Wachstumsrate
Die Wachstumsrate der Pflanze wird durch die Steigung der Funktion beschrieben. Das bedeutet, du musst die maximale Steigung der Funktion finden.
Die Steigung der Funktion findest du, indem du nach ableitest. Nutze dazu die Quotientenregel.
Vereinfache diese Ableitung, indem du im Zähler ausklammerst.
Jetzt hast du eine Funktion, die die Steigung der Funktion beschreibt. Du willst nun das Maximum dieser Steigung herausfinden. Nutze dazu den Ansatz zur Extremwertbestimmung von Funktionen. Berechne dafür die zweite Ableitung mithilfe der Quotientenregel und der Kettenregel:
Diese Ableitung kannst du wiederum vereinfachen indem du zuerst ausklammerst und die Klammern im Zähler ausrechnest.
Einen Extremwert der Steigung erhältst du, indem du die zweite Ableitung gleich Null setzt.
In diesem Fall reicht es, den Zähler des Bruchs zu betrachten.
Da niemals Null wird, reicht es wiederum nur die Klammer zu betrachten.
Da dies die einzige Extremstelle ist kannst du dir sicher sein, dass es der gefragte Maximalwert ist. Du erhältst also eine maximale Steigung zum Zeitpunkt .
Das bedeutet: Monate nach Beobachtungsbeginn wächst die Maispflanze am stärksten.
Maximale Wachstumsrate
Um die maximale Wachstumsrate in erhältst du indem du die maximale Steigung berechnest und anschließend in die gewünschte Einheit umrechnest.
Die Einheit erhältst du durch die Ableitung der Zeit. Aus in wird also nach Ableitung durch in :
in
Diese Einheit muss jetzt in umgerechnet werden. Schreibe dazu die alte Einheit in und um.
Nutze dazu die Umrechnung
Du erhältst also als maximale Wachstumsrate:
Die Pflanze wächst mit maximal .
Bestimme die maximal zu erreichende Höhe dieser Maissorte, indem du den Grenzwert von h(x) gegen Unendlich betrachtest.
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Maximale Höhe der Maispflanze
Wenn man die Funktion nicht bei Monaten abbrechen würde, sondern weiterzeichnen, sieht man, dass die Funktion eine Art Plateau erreicht.
Der Wert dieses Plateaus scheint die maximale Höhe der Pflanze zu sein.
Aus diesem Grund kannst du den Grenzwert der Funktion bestimmen und diesen als maximale Höhe festlegen.
Bestimme dazu den Limes von gegen unendlich.
Den Bruch kannst du aufteilen und die Grenzwerte für den Zähler und Nenner getrennt betrachten:
Im Nenner spielen die keine Rolle mehr. Es bleibt übrig:
Du erhältst nach kürzen einen Grenzwert von . Das bedeutet, die maximale Höhe der Pflanze beträgt .
Wie müsste die passende Funktionsgleichung aussehen, wenn die Pflanze zu Anfang dieselbe Höhe hätte, also , aber jede weitere Höhe von exakt in der Hälfte der Zeit von erreicht wird ?
Betrachte Teilaufgabe . Begründe, warum die anderen beiden Antworten nicht richtig sein können!
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Begründung der Lösung
Die Lösungen
und
aus Aufgabe sind falsch.
Du sollst begründen, warum diese Lösungen nicht den geschilderten Sachkontext erfüllen können.
Betrachte dazu nochmal die Aussage, dass der Anfangswert der ursprünglichen Funktion auch der Anfangswert der Funktion ist. Wichtig ist noch, dass dieser Anfangswert . Das weißt du aus Aufgabe oder kannst es aus der Zeichnung auslesen.
Betrachte zunächst und setze ein.
Das sollte nun gleich sein.
Auf dieses Ergebnis kommt man mit aber nur, wenn .
Somit kann keine Lösung des Problems sein, da es mit dieselbe Funktion wie ist.
Betrachte nun und setze ein.
Für den ersten Teil dieses Terms kann man einsetzen, da dies genau diesen Bruch ergibt. Da jetzt aber sein soll, müsste genau sein.
Wenn das so ist, erhältst du wie bei wiederum genau , was das Problem nicht löst.
Aus diesem Grund muss die dritte Möglichkeit die Lösung des Problems sein.
Berechne damit nun die Aufgabe !
Betrachte Teilaufgabe . Gebe den entsprechenden Wert von an!
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Bestimmung des Koeffizienten
Berechne nun den Koeffizienten in , so dass das in beschriebene Problem gelöst wird.
Du weißt bereits, dass die Höhe ist. Außerdem kennst du den Funktionswert aus der Aufgabe .
Betrachte nun den Wert und überlege, wann diese Höhe erreicht hat.
In der Problemstellung steht, dass diesen Wert in der Hälfte der Zeit erreicht. Die Zeit ist in diesem Fall Monate. Die Hälfte ist also somit Monate.
Jetzt kannst du den Funktionsterm aufstellen, da du weißt: .
Diese Gleichung musst du nun nur noch nach dem Koeffizienten auflösen.
Nach Berechnen mit dem Taschenrechner erhältst du:
Damit kannst du nun eine vollständige Funktionsgleichung aufstellen: