Gib eine natürliche Zahl für an, so dass der Wert des Terms positiv ist.
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Ein möglicher Wert für
Du kannst hier gut die Regel "Minus mal Minus ergibt Plus" verwenden. Diese besagt: Wenn du zwei Zahlen mit negativem Vorzeichen miteinander multiplizierst, ist das Ergebnis positiv. Das funktioniert zum Beispiel, wenn du mit multiplizierst:
Jetzt hast du herausgefunden, dass für der Term einen positiven Wert hat. ist also eine mögliche Lösung.
Damit ist die Aufgabe bereits gelöst. Aber es gibt noch viel mehr Lösungen als nur . Welche Lösungen das sind, kannst du hier nachlesen:
Alle möglichen Werte für
Die ist nicht die einzige natürliche Zahl, die du für einsetzen kannst. Wenn du berechnest, also -mal mit sich selbst multiplizierst, sieht das so aus:
Es ist egal, in welcher Reihenfolge du die Zahlen miteinander Multiplizierst (Assoziativgesetz). Daher kannst du die Faktoren in Paare aufteilen:
Die beiden Faktoren eines Paares miteinander multipliziert ergeben wieder eine positive Zahl (nämlich ), denn Minus mal Minus ergibt Plus. Nun gibt es zwei Möglichkeiten:
- ist gerade. Dann bleibt am Ende keine mehr übrig. Das sieht dann so aus: Also stehen in dem Produkt, sobald du die Paare zusammengerechnet hast, keine negativen Vorzeichen mehr. Damit ist der Wert von positiv.
- ist ungerade. Dann bleibt am Ende eine übrig. Das sieht dann so aus: Wenn du die Paare zusammengerechnet hast, steht da also eine positive Zahl mal eine negative Zahl. Und aufgrund der Regel "Plus mal Minus ergibt Minus." hat damit einen negativen Wert.
Fassen wir also zusammen: Der Wert von ist positiv, wenn gerade ist, und negativ, wenn ungerade ist. Die möglichen Werte für sind also:
Alternative Lösung mit den Potenzgesetzen
Mithilfe der Potenzgesetze kannst du ebenfalls ermitteln, welche Zahlen man für x einsetzen kann, damit einen positiven Wert hat. Wie oben schon berechnet wurde, gilt:
Das ist eine positive Zahl. Und eine positive Zahl hoch irgendetwas ist auch wieder eine positive Zahl. Denn: "Plus mal Plus ergibt Plus". Nimmst du also hoch irgendeine natürliche Zahl (nennen wir diese Zahl mal ), so stellst du fest, dass das Ergebnis immer positiv ist:
Nach den Potenzgesetzen gilt:
Das heißt, für ist positiv. Und die Zahlen sind genau die geraden Zahlen. Denn gerade zu sein heißt, dass die Zahl durch teilbar ist. ist aber durch teilbar, denn .