Schätze den Wert von .
Berechne dazu die ersten fünf Schritte der Intervallschachtelung und schätze anschließend den Wert von .
Lösung anzeigen
Die Methode der Intervallschachtelung ist eine Möglichkeit der Abschätzung von Werten von Wurzeln.
Überlege dir für den ersten Schritt ein Intervall, in dem der Wert von liegen kann. Nutze dazu bereits bekannte Wurzelwerte.
1. Schritt
Du kennst bereits die Werte von:
und
Daraus kannst du die erste Abschätzung machen:
daraus folgt wiederum:
Das bedeutet, der Wert von liegt im Intervall:
Die nächsten Schritte laufen immer in der gleichen Reihenfolge ab. Du bildest zuerst den Mittelwert der alten Intervallgrenzen. Dieser Wert bildet wiederum eine der neuen Intervallgrenzen. Die andere bleibt erhalten.
Ob der neue Wert die obere oder untere Intervallgrenze ist, entscheidest du wie folgt: quadriere den Mittelwert und vergleiche diesen Wert mit der .
Wenn er
- größer als ist, bildet er die neue Obergrenze
- kleiner als ist, bildet er die neue Untergrenze
Eine ausführliche Erklärung dieser Schritte findest du hier.
2. Schritt
Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von !
Berechne das Quadrat von und vergleiche es mit .
Definiere nun das neue Intervall!
3. Schritt
Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von !
Berechne das Quadrat des Mittelwertes und vergleiche es mit .
Definiere nun das neue Intervall!
4. Schritt
Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von !
Berechne das Quadrat von und vergleiche es mit .
Definiere nun das neue Intervall!
5. Schritt
Bilde den Mittelwert der Intervallgrenzen von !
Berechne das Quadrat des Mittelwerts und vergleiche mit .
Definiere nun das neue Intervall!
Nach diesen fünf Schritten wissen wir:
Also: Der Wert von liegt zwischen und .
Abschätzung
Nimm den Mittelwert der letzten Intervallgrenzen als mögliche Abschätzung für den Wert von .
Die Abschätzung von ergibt .
Als Vergleich: Der Taschenrechner rundet auf .