Abbildung 2 zeigt den Graphen einer in definierten differenzierbaren Funktion . Mithilfe des Newton-Verfahrens soll ein Näherungswert für die Nullstelle a von g ermittelt werden. Begründen Sie, dass weder die x-Koordinate des Hochpunkts H noch die x-Koordinate des Tiefpunkts T als Startwert des Newton-Verfahrens gewählt werden kann. (2 BE)
Lösung anzeigen
Mache dir zunächst Gedanken darüber, wie das Newtonsche Näherungsverfahren funktioniert.
Die Iterationsformel des Newton-Verfahrens lautet
Die Aufgabenstellung lautet, dass du begründen sollst, warum die Punkte H und T nicht als Startpunkt gewählt werden können. Zur Berechnung von ergibt sich folgende Formel:
Das besondere an den Punkten H und T ist, dass diese Extremstellen der Funktion sind. Die erste Ableitung einer Extremstelle ist immer 0. Schaue dir nun noch mal die Formel zur Berechnung von an: . Wenn H oder T als Startwert gewählt wird, ist , das heißt man müsste durch 0 teilen. Dies ist aber nicht erlaubt! Deswegen können H und T nicht als Startpunkte gewählt werden.