Die Skizze zeigt ein Parallelogramm mit den Seitenlängen: und und dem Winkel .
Berechne den Winkel .
Lösung anzeigen
Insbesondere benötigst du folgende Regeln:
- Die Diagonalen in einem Parallelogramm halbieren sich.
- Benachbarte Winkel ergänzen sich zu .
Zielgleichung aufstellen
Zunächst suchen wir eine Gleichung, die den gesuchten Winkel enthält. Im Parallelogramm sind zunächst nur die Seitenlängen und sowie der Winkel bekannt. Da die Seite dem gesuchten Winkel gegenüberliegt, bietet sich der Kosinussatz für an.
Da sich in einem Parallelogramm die Diagonalen halbieren, haben die Seiten, die am Winkel anliegen, die Länge bzw. . Die Zielgleichung ist also:
Zielgleichung vereinfachen
Um später weniger rechnen zu müssen, kannst du die Gleichung durch Ausklammern und Kürzen vereinfachen:
Fehlende Größen berechnen
Die Längen von und kannst du mit dem Kosinussatz berechnen. Es gilt:
In einem Parallelogramm ergänzen sich benachbarte Winkel zu . Also ist . Zusammen mit den Supplementbeziehungen für Sinus und Kosinus gilt:
Damit berechnest du die Werte von bzw. :
Einsetzen in die Zielgleichung
Einsetzen in die Zielgleichung ergibt:
Details anzeigen
Mit den Gleichungen für und gilt: .
Also ist mit und :
Der gesuchte Winkel hat die Größe .