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Teilaufgabe 2.1
Schrägbild der Pyramide ABCDS:
- und steht senkrecht auf [AC]
- Die Grundfläche ist ein Drachenviereck, daher wissen wir, dass die Diagonalen senkrecht aufeinander stehen. Da ist, zeichnen wir eine Gerade durch M im Winkel von 45°
- [AC] ist die Symmetrieachse, daher sind [BM] = [MD] = 4 cm. In unserem Fall haben wir den Verkürzungsfaktor im Schrägbild, also ist [BM] = [MD] = 2 cm.
- Verbinde nun alle Eckpunkte der Pyramide miteinander.
Länge der Strecke im rechtwinkligen Dreieck MCS mit dem Satz des Pythagoras:
Maß des Winkels :
Wir berechnen den Winkel im rechtwinkligen Dreieck MCS (siehe Zeichnung oben) mit Hilfe der Trigonometrie:
Umformung: \cdot\tan^{-1}
Teilaufgabe 2.2
Zeichnung des Dreiecks :
- Der Punkt und (rot).
- : Wir können also ein Lot von Punkt P auf die Seite [SC] fällen (grün).
- Der Schnittpunkt der Lotgeraden und der Seite [SC] ist der Punkt .
Zeichnung des Dreiecks :
- Da sein soll, zeichnen wir eine Parallele durch den Punkt P zur Seite [AC] (blau).
- Der Schnittpunkt der Parallelen und der Seite [SC] ist der Punkt .
Teilaufgabe 2.3
Länge der Strecke [] im rechtwinkligen Dreieck (pink) mit Hilfe der Trigonometrie:
Da wir nur eine Seite in diesem Dreieck ([SP] = 4 cm) kennen, fehlt uns noch ein Winkel oder eine zweite Seite, um die gesuchte Seite [] berechnen zu können.
Der Winkel (blau in der Abbildung unten):
Der Winkel liegt auch im Dreieck ACS (Abbildung rechts), vom dem wir bereit einen zweiten Winkel, den Winkel (grün) = 52,13° kennen.
(rot) mit Hilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck AMS:
|
(blau) können wir mit der Innenwinkelsumme im Dreieck ACS berechnen:
Nun können wir endlich die Länge der Strecke berechnen:
Umformung: \cdot4cm
Bemerkung: alternativ können wir auch im rechtwinkligen Dreieck den Wert von mit dem Satz des Pythagoras als berechnen. Dann verwenden wir den Sinussatz und erhalten den Sinus von durch Auflösen von
Teilaufgabe 2.4
Flächeninhalt A des Dreiecks :
Begründung des Ansatzes
Nach dem erweiterten Sinussatz gilt für die Fläche jedes beliebigen Dreieck .
(Man benötigt also zwei aneinander liegende Seiten a,b und den dazwischenliegenden Winkel .)
Uns fehlt also die Strecke und der Winkel :
- Winkel :
Betrachten wir die Dreiecke und , sehen wir, dass sie die gleiche Spitze haben, außerdem ist (zentrische Streckung), somit sind sie auch winkeltreu.
wie in Teilaufgabe 2.3 berechnet.
- Strecke mit dem Sinussatz im Dreieck :
Umformung: \cdot\sin\left(56,30°\right)
Nun können wir die Fläche berechnen:
Teilaufgabe 2.5
Zeichnung der Pyramide :
- Der Schnittpunkt mit der Seite [SC] bildet die Spitze der Pyramide .
- Verbinde nun alle Eckpunkte miteinander.
- Fälle nun das Lot von Q_3 auf die Diagonale auf [AC], der Schnittpunkt ist der Fußpunkt F der Höhe der Pyramide.
Länge der Höhe [] der Pyramide im rechtwinkligen Dreieck mit der Trigonometrie:
Uns fehlt in dieser Formel die Seite . Aber: .
Somit brauchen wir auch im Dreieck mit dem Sinussatz:
Umformung: \cdot\sin\left(77°\right)
Teilaufgabe 2.6
Volumen der Pyramiden mit :
Für die Höhe gehen wir wie oben vor:
Für die Grundfläche mit und :