Die menschliche Lunge besteht aus annähernd kugelförmigen Lungenbläschen. In einer Lunge finden sich ca. ( ) Bläschen. Über die Oberfläche dieser Bläschen nimmt der menschliche Organismus Sauerstoff aus der Luft auf. Wenn wir ausatmen, hat ein Lungenbläschen einen Durchmesser von . Wenn wir einatmen, blähen sie sich auf und erreichen einen Durchmesser von .
Berechne die Oberfläche und das Volumen eines einzelnen Lungenbläschens beim Aus- und beim Einatmen.
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Tipp:
Umrechnung der Einheiten in Meter
Damit du in den späteren Teilaufgaben einfacher weiterrechnen kannst, rechnest du am Besten zuerst die Einheiten von in um.
Berechne nun die Radien eines Lungenbläschens.
Berechnung der Oberfläche und des Volumens
Stelle die Formeln für die Oberflächeninhalte und die Volumen auf.
Setze die Werte ein und multipliziere aus!
Für das leere Lungenbläschen beim Ausatmen ergibt sich in etwa eine Oberfläche von und ein Volumen von .
Für das volle Lungenbläschen beim Einatmen ergibt sich eine Oberfläche von circa und ein Volumen von .
Berechne das Volumen und die Oberfläche aller Bläschen zusammen beim Aus- und Einatmen.
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Du hast das Volumen und den Oberflächeninhalt eines einzelnen Bläschens beim Ein- und Ausatmen bereits in der Teilaufgabe a) berechnet. Die Anzahl der Lungenbläschen in der Lunge ist gegeben. Damit kannst du die Formel für das gesamte Volumen und den gesamten Oberflächeninhalt aufstellen.
Du kannst die gesamte Oberfläche mit und bezeichnen. Das gesamte Volumen kannst du mit und bezeichnen.
Durch das Einsetzen der Werte erhältst du:
Der gesamte Oberflächeninhalte aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen circa und beim Einatmen .
Das gesamte Volumen aller Lungenbläschen beträgt beim Ausatmen in etwa und beim Einatmen .
Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dasselbe Volumen hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen! Wie groß ist die Oberfläche dieser Kugel?
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Radius einer Kugel mit demselben Volumen
Du kennst das gesamte Volumen aller Bläschen aus der Teilaufgabe b). Versuche nun die Formel für das Kugelvolumen nach der gesuchten Größe umzustellen!
Umformung: \cdot\frac{3}{4}
Umformung: :\pi
Umformung: \sqrt[3]{}
Setze anschließend die Werte von den Volumen beim Ein- und Ausatmen ein. Du kannst den Radius der Kugel mit dem Volumen vom Ausatmen und mit dem Volumen vom Einatmen nennen.
Die Kugeln beim Ein- und Ausatmen mit demselben Volumen wie alle Lungenbläschen zusammen hätten einen Radius von und .
Oberfläche dieser Kugel
Für den Oberflächeninhalt dieser Kugel musst du nun noch diese Radien in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzen und berechnen:
Eine Kugel mit dem Radius hätte eine Oberfläche mit und eine Kugel mit dem Radius hätte die Oberfläche .
Wie groß müsste der Radius einer einzelnen Kugel sein, die dieselbe Oberfläche hat wie alle Bläschen zusammen? Unterscheide dabei wieder das Ein- und Ausatmen!
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Analog zur Teilaufgabe c) stellst du die Formel für den Kugeloberflächeninhalt nach um.
Umformung: :4\pi
Umformung: \sqrt{ }
Anschließend setzt du wieder die Werte aus der Teilaufgabe b) ein. Wir nennen den Radius der Kugel mit der Oberfläche beim Ausatmen und beim Einatmen .
ist für uns irrelevant, da der Radius nur positive Werte annehmen kann. Im Folgenden wird daher nur die Formel für benutzt.
Der Radius einer Kugel mit demselben Oberflächeninhalt wie alle Lungenbläschen zusammen hätte einen Radius von beim Einatmen und von beim Ausatmen.
Es fällt auf, dass diese Radien viel größer sind als die Radien beim Ein- und Ausatmen in der Teilaufgabe c).
Zusatzaufgabe: Was ist der Vorteil von vielen kleinen Bläschen anstelle einer großen Kugel als Lunge?
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Der Sauerstoff wird über die Oberfläche der Lungenbläschen aufgenommen. Im Brustkorb ist nur ungefähr so viel Platz wie für ein Volumen von . Der Oberflächeninhalt wäre bei einer einzelnen Blase dann bei ca. (siehe Teilaufgabe c). Durch die vielen kleinen Blasen kann der Oberflächeninhalt, über den Sauerstoff aufgenommen wird, aber stark vergrößert werden.
Dadurch entsteht ein Oberflächeninhalt, der, wenn er von nur einer Blase geschaffen werden müsste, viel zu groß für den menschlichen Körper wäre (zum Vergleich: Der Durchmesser der Kugel ist mehr als doppelt so groß wie ein erwachsener Mensch). Nur dadurch kann die Lunge so viel Sauerstoff aufnehmen, wie der Körper zum Leben benötigt!