Punkte zu Aufgabe 2.1: 3 P
Punkte zu Aufgabe 2.3: 1 P
Punkte zu Aufgabe 2.4: 2 P
Punkte zu Aufgabe 2.5: 2 P
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Lösung zur Teilaufgabe A 2.1
Für diese Aufgabe benötigst du ein grundlegendes Wissen über Definitions- und Wertebereich einer Funktion.
Gesucht ist ein Faktor , sodass . Durch Vergleich der Vorfaktoren des Terms erkennst du, dass
Du kannst dir das Ganze auch nochmal in dem Applet unten anschauen:
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Die Funktion kann nur dort definiert sein, wo das Argument der Quadratwurzel nicht negativ ist. Das ist genau dann der Fall, wenn
Umformung: -2,5
Also ist der Definitionsbereich der Funktion gegeben durch .
Für den Wertebereich der Funktion liest du aus dem Funktionsgraphen ab:
.
Lösung zur Teilaufgabe A 2.2
Du startest mit den Punkten und . Beide Punkte liegen auf der Geraden und die -Koordinaten sind durch für sowie durch für gegeben. Ferner weißt du, dass die Hypotenuse des Dreiecks werden wird. Daher ist der Winkel rechtwinklig. Da die Eckpunkte von Dreiecken stets gegen den Uhrzeigersinn bezeichnet werden, muss links von liegen. Du zeichnest also die Normale zur Strecke durch den Punkt ein und trägst die gegebenen nach links ab. Dort liegt .
Lösung zur Teilaufgabe A 2.3
Da die Punkte und stets die gleiche -Koordinate besitzen, ist die Länge der Strecke durch die Differenz der -Koordinaten gegeben. Du berechnest:
Lösung zur Teilaufgabe A 2.4
Für diese Aufgabe lohnt sich ein Blick in den Artikel über trigonometrische Beziehungen.
Der Winkel wird im Folgenden mit bezeichnet. Schau dir dazu auch die nicht maßstabsgetreue Skizze auf der rechten Seite an. Wir benutzen die Tangensformel
im rechtwinkligen Dreieck . Hier ist die Gegenkathete und die Ankathete. Wir lösen diese Beziehung nach der Ankathete auf und erhalten
Nun löst du die in Teilaufgabe A 2.3 bestimmte Gleichung nach auf:
Umformung: -7
Umformung: :(-3,5)
Umformung: \;()^2
Umformung: -2,5\text{ und Seiten vertauschen}
Abschließend setzt du ein und erhältst .
Lösung zur Teilaufgabe A 2.5
Hier benutzt du Resultate über den Flächeninhalt von Dreiecken.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, kannst du dessen Flächeninhalt gemäß
berechnen (siehe hierzu den "Sonderfall rechtwinkliges Dreieck" im Artikel über den Flächeninhalt). Du setzt und das Resultat für aus Teilaufgabe A 2.3 ein und erhältst:
Hier hast du benutzt, dass die Quadratwurzel (falls definiert) stets nicht-negativ, d.h. , ist.