Zeigen Sie, dass der Graph der in definierten Funktion punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und geben Sie den Wert des Integrals an. (3 BE)
Lösung anzeigen
Überprüfe zuerst die Symmetrie
Setze für jetzt ein und überprüfe, ob die Gleichung erfüllt ist, dann ist die Punktsymmetrie gegeben.
Da der Sinus punktsymmetrisch ist, kannst du das Minus in der Klammer nach außen ziehen.
Damit ist die Punktsymmetrie bestätigt.
Jetzt kannst du das Integral berechnen
Du hast gerade ausgerechnet, dass die Funktion punktsymmetrisch ist. Dazu kommt noch, dass du zwei Grenzen hast, die gleichweit vom Ursprung entfernt sind. Das sagt dir, dass die Flächen von bis und von bis den gleichen Betrag haben. Da eine Fläche oberhalb und eine Fläche unterhalb der -Achse liegt, ist eine positiv und eine negativ. Wenn du sie jetzt addierst, ist der Wert deines Integrals einfach .
Aufgrund von Punktsymmetrie und symmetrischen Integrationsgrenzen gilt: