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Welche der folgenden Systeme ist ein lineares Gleichungssystem? Markiere alle zutreffenden Antworten.
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Überlege dir, was ein lineares Gleichungssystem überhaupt ist:
- Mehrere Gleichungen, die gleichzeitig erfüllt sein müssen, nennt man Gleichungssystem.
- Wenn zusätzlich noch jede Variable höchstens mit dem Exponenten auftaucht, wird es Lineares Gleichungssystem genannt.
Überprüfe nun die beiden Kriterien.
Du erkennst, dass…
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der ersten Gleichung sowohl als auch den Exponenten haben.
Du erkennst weiter, dass…
… kein Lineares Gleichungssystem ist, weil in der zweiten Gleichung mit dem Exponenten auftaucht.
In allen anderen Fällen sind beide Kriterien erfüllt. Es handelt es sich somit um lineare Gleichungssysteme.
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
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Du zeigst, dass die Gleichungen und nicht gleichzeitig erfüllt sein können. Dabei verwendest du am besten das Subtraktionsverfahren.
Subtrahiere Gleichung von Gleichung .
Die Gleichung ist offensichtlich falsch. Damit ist auch das gegebene Gleichungssystem falsch und hat keine Lösung.
Die Lösungsmenge ist somit .
Wie viele Lösungen hat folgendes Gleichungssystem?
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Du zeigst, dass die Gleichungen und äquivalent sind. Das heißt, jedes und , das Gleichung löst, liefert auch für Gleichung eine wahre Aussage.
Eine Möglichkeit, dies zu zeigen, ist das Einsetzungsverfahren.
Stelle zunächst Gleichung nach y um.
Setze nun in Gleichung ein. Du erhältst die neue Gleichung .
Fasse die linke Seite der Gleichung zusammen.
Die Gleichung ist wahr und zwar unabhängig von . Es gibt also unendlich viele Lösungen.
Wie viele Lösungen hat folgendes lineares Gleichungssystem?
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Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine Lösung, wenn es eindeutig nach und aufgelöst werden kann.
Um das herauszufinden, bietet sich das Einsetzungsverfahren an, da man zum Beispiel Gleichung sehr einfach nach umstellen kann.
Stelle zunächst Gleichung nach um.
Setze nun in Gleichung ein. Du erhältst die neue Gleichung .
Fasse die linke Seite zusammen.
Löse nach auf.
zum Beispiel in Gleichung ein, um zu bestimmen.
Löse nach auf.
Es gibt also genau eine Lösung.