Brennende Kerzen
Beide Kerze brennen langsam herunter. Da die rote Kerze deutlich dünner ist als die blaue, wird sie schneller kleiner. Am Anfang der Beobachtung ist die blaue Kerze cm und die rote cm hoch. Man hat bereits beobachtet, dass in einer Stunde die blaue um mm und die rote mm gleichmäßig herunterbrennt.
Stelle für beide Kerzen jeweils eine Funktionsgleichung auf, die die Höhe in Abhängigkeit der Zeit darstellt.
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Die Höhe der Kerzen wird durch zwei lineare Funktionen beschrieben. Verwende als (abhängige) Variable statt , um zu verdeutlichen, dass die Höhe der Kerzen von der Zeit abhängt.
Blaue Kerze
Man muss die Parameter der Gleichung finden.
In einer Stunde wird sie cm kleiner. Damit beträgt die Steigung .
Der Y-Achsenabschnitt ist die anfängliche Höhe der Kerze: .
Du erhältst so die Funktionsgleichung:
Rote Kerze
Pro Stunde verliert die rote Kerze cm. Die Steigung beträgt also .
Die rote Kerze hat anfangs eine Höhe von .
Du erhältst so die Funktionsgleichung:
Berechne nun, nach wie vielen Stunden die Kerzen gleich lang sind, indem du die beiden Funktionen als Gleichungen mit den Variablen und auffasst.
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Zuerst stellst du aus den Funktionen ein Gleichungssystem mit zwei Variablen zusammen:
Um nun die Zeit zu finden, an der beide Kerzen die gleiche Höhe haben, suchst du die Lösung des Gleichungssystems. Dazu bietet sich das Gleichsetzungsverfahren gut an.
Beide Gleichungen sind bereits nach aufgelöst und können direkt gleichgesetzt werden.
1. Gleichsetzen
2. Nach t auflösen
Die Kerzen sind also nach 17,5 Stunden, also 17 Stunden und 30 Minuten gleich hoch.
Antwort: Nach 17 Stunden und 30 Minuten haben die Kerzen die gleiche Höhe .
Hinterfrage dein Ergebnis aus kritisch im Kontext der Aufgabe. An welcher Stelle gibt es ein Problem?
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Berechne zuerst, auf welche Höhe die beiden Kerzen heruntergebrannt sind, wenn sie gleich groß sind. Versuche dann noch einmal deine Ergebnisse in Bezug auf zwei brennende Kerzen in Worte zu fassen.
Höhe der Kerzen
Nach Teilaufgabe b) haben die beiden Kerzen nach Stunden die gleiche Höhe. Doch wie groß sind sie? Wie bei allen Aufgaben zu Gleichungssystemen sollte man am Schluss die vollständige Lösungsmenge angeben: Das heißt zu der Zeit muss noch die Höhe berechnet werden.
Setze also in eine der Gleichungen aus b) ein und berechne .
Setze dein Ergebnis beispielsweise in Gleichung ein und vereinfache.
Als Lösungsmenge ergibt sich also: Nach Stunden sind beide Kerzen cm groß.
Was bedeutet das cm?
Mathematisch ergab sich für die beiden Geraden aus Teilaufgabe a) natürlich ein Schnittpunkt.
Doch im Sachzusammenhang betrachtet, macht diese Lösung keinen Sinn. Aus der Geradengleichung der blauen Kerze kann man berechnen, dass diese bereits nach Stunden abgebrannt ist. (siehe dazu Berechnung von Nullstellen)
Alternativ kannst du dir auch die Graphen der Kerzen zeichnen, um deine Löusng zu interpretieren.
Antwort:
Obwohl sich rechnerisch eine Lösung ergibt, sind die beiden Kerzen niemals gleich groß: Sie sind vorher heruntergebrannt.