Wie viele Zahlen lassen sich als Summe oder Differenz aus jeweils zwei der Primfaktoren der Zahl 114 bilden?
Lösung anzeigen
Zerlege in Primfaktoren.
Die Primfaktoren der Zahl sind , und .
Summen
Aus den Zahlen , und lassen sich folgende Summen bilden:
Da die Addition kommutativ ist, ergeben je zwei der Möglichkeiten das gleiche Ergebnis (z.B. und )
Also lassen sich so insgesamt Zahlen durch Summenbildung darstellen: , und .
Es gibt also drei Möglichkeiten die Primfaktoren zu Addieren.
rechnerische Lösung mit dem Binomialkoefizienten
Die Anzahl der Summen aus diesen Primfaktoren entspricht der Aufgabe, "2 aus 3" zu ziehen. Hierbei wird die Reihenfolge nicht beachtet, da die Addition kommutativ ist und es wird nicht zurückgelegt, da jede Zahl nur einmal vorkommen soll.
Berechne den Binomialkoeffizienten.
Differenzen
Aus den Zahlen , und lassen sich folgende Differenzen bilden:
Alle Ergebnisse sind voneinander verschieden.
Es gibt also sechs Möglichkeiten die Primfaktoren zu subtrahieren.
Details anzeigen
Die Anzahl der Differenzen aus diesen Primfaktoren entspricht der Aufgabe, "2 aus 3" zu ziehen. Hierbei wird die Reihenfolge beachtet, da die Subtraktion nicht kommutativ ist und es wird nicht zurückgelegt, da jede Zahl nur einmal vorkommen soll.
Alle Möglichkeiten
Somit gibt es insgesamt Möglichkeiten Summen und Differenzen aus den Primfaktoren der Zahl zu bilden.
Diese wären:
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Da keines der Ergebnisse der Addition oder Subtraktion doppelt vorkommt, lassen sich durch Summen- und Differenzbildung der Primfaktoren von auch Zahlen erzeugen.