Geometrische Graffitis
Zur Verschönerung wird ein Parallelogramm auf drei verschiedene Weisen mit geometrischen Figuren besprüht. (Welches Graffiti würde dir als "Kunstwerk" am besten gefallen?)
Graffiti 1
Hier gilt:
und
Graffiti 2
Hier gilt:
und
Graffiti 3
Hier gilt:
ist eine Mittelparallele im Parallelogramm und der Punkt teilt diese im Verhältnis . Der Punkt teilt die Seite im Verhältnis .
Schule dein Empfinden für Flächengrößen und entscheide ohne Rechnung, welche Aussage für das Graffiti 1 zutrifft.
Klicke die deiner Meinung nach zutreffende Aussage an.
Entscheide auch für das Graffiti 2 ohne Rechnung, welche der folgenden Aussagen zutrifft.
Klicke die deiner Meinung nach richtige Aussage an.
Ordne für das Graffiti 1 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis stehen.
Lösung anzeigen
Für die Flächenzerleung des Parallelogramms gilt:
Hilfreiche Vorkenntnisse zum Beweis
Flächeninhalt des Parallelogramms
Flächeninhalt des Dreiecks
Der Strahlensatz
Werden zwei sich schneidende Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den beiden Strecken gleich.
Für die gezeichnete Figur gilt:
Behauptung:
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis
Der Beweis
Für gilt:
Für gilt:
Für gilt:
Für
Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchteile auf den gemeinsamen Nenner und ordne sie der Größe nach.
Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
Anmerkungen zum Beweis
- Dass doppelt so groß ist wie , erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von aus ist die Grundlinie doppelt so groß.
- Für diesen Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
Alternativer Beweis
Dreiecksflächen
habe bei seiner Grundlinie und der Höhe den angenommenen Flächeninhalt .
ist dann bei der gleichen Höhe wegen der doppelten Grundlinienlänge auch doppelt so groß.
hat den Flächeninhalt .
ist halb so groß. Begründung: Halbe Grundlinie statt bei gleicher Höhe .
ist wegen dreifacher Grundlinie und gleicher Höhe dreimal so groß wie .
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
Zusammenfassung
Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich unabhängig von der Form des Parallelogramms sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt des Parallelogramms.
-
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Ordne für das Graffiti 2 die Teilflächen der Größe nach und beweise, dass sie im Verhältnis stehen.
Lösung anzeigen
Für die Flächenzerlegung des Parallelogramms gilt:
Notwendige Vorkenntnisse zum Beweis
Flächeninhalt des Parallelogramms
Flächeninhalt des Dreiecks
Der Strahlensatz
Werden zwei Strecken von zwei parallelen Geraden geschnitten, so sind die Teilverhältnisse auf den bieden Strecken gleich.
Für die gezeichnete Figur gilt:
Behauptung
Der Größe nach geordnet stehen die vier Teildreiecke des Parallelogramms im Größenverhältnis:
Der Beweis
Für gilt:
Für gilt:
Für gilt:
Für gilt:
Bringe zum direkten Vergleich der Flächen die Bruchterme
auf den gemeinsamen Nenner und ordne sie der Größe nach.
Damit ist gezeigt, dass die Teilflächen in folgendem Verhältnis stehen:
Anmerkungen zum Beweis
- Dass doppelt so groß ist wie erkennt man auch so: Bei gleicher Höhe von aus ist die Grundlinie doppelt so lang.
- Für den Beweis wurden alle Teilflächen einzeln berechnet. Begnügt man sich damit, lediglich das angegebene Teilverhältnis der Flächen zu bestätigen, kann man geschickt auch wie im nachfolgenden alternativen Beweis vorgehen.
Alternativer Beweis
Dreiecksflächen
habe bei der Grundlinienlänge und der Höhe den angenommenen Flächeninhalt .
ist bei der gleichen Höhe wegen der doppelten Grundlinienlänge doppelt so groß wie .
hat den Flächeninhalt
und sind flächengleich wegen gleicher Grundlinienlänge und gleicher Höhe .
ist doppelt so groß wie wegen der doppelt so großen Grundlinienlänge bei gleicher Höhe .
Der Größe nach geordnet stehen die Teilflächen des Parallelogramms somit in folgendem Verhältnis:
Zusammenfassung
Bei keiner der beiden angegebenen Beweisarten spielt die Form und die Größe des Parallelogramms eine Rolle. Mit dem nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Teilverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt des Parallelogramms.
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Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.
Beweise, dass das Graffiti drei gleich große Teilflächen enthält und die drei anderen im Verhältnis stehen.
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Für die Zerlegung des Parallelogramms gilt:
- Die Höhe wird durch halbiert.
Hilfreiche Vorkenntnis zum Beweis:
Flächeninhalt des Trapezes
Behauptung
Drei Flächenteile sind flächengleich, die restlichen stehen im Verhältnis
Der Beweis
Für gilt:
Für gilt:
Für gilt:
Damit sind die drei flächengleichen Teilflächen gefunden:
Das Trapez (türkis) und die Dreiecke (orange) und (rot) sind flächengleich.
Für gilt:
Für
Für gilt:
Bringe zum direkten Vergleich der Dreiecke die Bruchteile
auf den gemeinsamen Nenner und ordne der Größe nach.
Damit stehen die restlichen Dreiecke des Parallelogramms in folgendem Verhältnis:
Anmerkungen zum Beweis
- Auf die Berechnung des Flächenteils des Trapezes kann man auch verzichten (wenn man z.B. die Flächenformel für das Trapez doch nicht kennt!), indem man die Flächenanteile aller fünf Dreiecke addiert und die Summe vom Flächenteil (des Parallelogramms) abzieht. Allerdings erkennt man auf diese Weise die drei gleich großen Flächen erst am Schluss.
- Zum Beweis wird die Form und die Größe des Parallelogramms nicht benötigt. Am nachfolgenden Applet kannst du dich davon überzeugen, dass die behaupteten Flächenverhältnisse tatsächlich von der Form des Parallelogramms unabhängig sind. Verschiebe dazu auf beliebige Weise den blauen Eckpunkt des Parallelogramms.
-
Tipp: Wenn die Ansicht abgeschnitten wirkt, direkt in GeoGebra öffnen.