Extremwertaufgaben der Flächenberechnung von Dreiecken
In den folgenden Aufgaben werden verschiedene Dreiecke beobachtet. Ziel der gesamten Aufgabe ist es, dasjenige Dreieck zu finden, das die maximale ( = größtmögliche ) Fläche hat.
Zeichne das gleichschenklige Dreieck mit und Höhe in ein Koordinatensystem ein.
Lösung anzeigen
Nun sollen Dreiecke aus dem Dreieck entstehen, indem die Grundseite von beiden Seiten um verkürzt werden und die Höhe um verlängert wird.
Zeichne die Dreiecke für , und in dasselbe Koordinatensystem wie das Dreieck ein.
Lösung anzeigen
Konstruktion der Dreiecke , und .
Für welchen Wert von hat das Dreieck die maximale Fläche?
Lösung anzeigen
Das Dreieck hat die Grundseite und die Höhe .
Die Grundseite der Dreiecke wird um verkleinert und die Höhe um vergrößert.
Die neue Grundseite der Dreiecke ist dann und die neue Höhe der Dreiecke ist dann
Die Fläche berechnet sich dann zu:
Setze die Grundseite und die Höhe ein.
Löse die Klammern auf.
Fasse zusammen.
Multipliziere.
Du hast für die Dreiecksfläche eine quadratische Funktion erhalten:
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel, die nach unten geöffnet ist (negativer Vorfaktor vor dem ).
Der Scheitelpunkt dieser Parabel ist dann das gesuchte Maximum für die Dreiecksflächen .
Wandle die allgemeine Form in die Scheitelform um.
Klammere aus.
Ergänze die Funktion quadratisch.
Benutze die 2. binomische Formel.
Fasse in der Klammer zusammen.
Löse die Klammer auf.
Lies den Scheitelpunkt ab:
Für haben die Dreiecke das maximale Volumen von .
Die folgende Abbildung ist in der Aufgabenstellung nicht gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung des Ergebnisses.
Das braune Dreieck hat den maximalen Flächeninhalt von .