Folgende Figur besteht aus Quadraten und einbeschriebenen Kreisen.Wie ist das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreises?
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Inkreis und Umkreis eines Quadrates
Man bertrachtet zunächst die zwei äußersten Kreise und das äußerste Quadrat.
Der Durchmesser des Inkreises im Quadrat ist , also gilt für den Innkreisradius:
Den Umkreisradius kann man mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen:
Umformung: :2
Umformung: \sqrt{ }
Bruch erweitern
Wir betrachten zuerst allgemein ein Quadrat mit Umkreisradius und Inkreisradius .
Löse die eben erhaltene Formel nach der Seitenlänge a auf:
Umformung: \cdot2
Umformung: :\sqrt{2}
Nun kann a in die Formel für den Inkreisradius eingesetzt werden:
Faktor 2 kürzen
Das heißt ist so groß wie .
Weil diese Zusammenhang allgemein gilt, gilt er natürlich auch für das äußerste Quadrat. Also:
Nun betrachten wir das zweite Quadrat. Der Umkreis dieses Quadrats ist der Inkreis des äußersten Quadrats. Also gilt:
Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius erhalten wir:
Setze jetzt ein und vereinfache:
Der Umkreis des dritten Quadrats ist der Inkreis des zweiten Quadrats. Also gilt:
Aber auch der allgemeine Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius glit in diesem Quadrat:
Setze ein und vereinfache:
Auch beim vierten Quadrat ist der Umkreis der Inkreis des dritten Quadrats. Damit ergibt sich:
Mit dem allgemeinen Zusammenhang zwischen In- und Umkreisradius folgt:
Setze ein und vereinfache:
Das Verhältnis des Radius des innersten Kreises zum Radius des äußersten Kreis beträgt also 1:4.