Für beliebige reelle Zahlen , definieren wir , also zum Beispiel .
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
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Die Aussage ist wahr.
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Die Aussage ist falsch.
für alle .
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Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wir mindestens eine Zahl für finden, so dass die Gleichung falsch ist.
Schreibe das Herz wie definert um.
Suche ein , sodass die rechte Seite größer ist als die linke Seite.
z.B.
Rechne beide Seiten aus.
Das ist eine falsche Ungleichung.
Diese Aussage ist falsch.
für alle .
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Wir werden zeigen, dass die Aussage falsch ist. Dazu müssen wirmindestens eine Zahl für finden, so dass die Ungleichung falsch ist.
Schreibe das Herz wie definiert um.
Suche ein , so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.
z.B.
Berechne
Diese Ungleichung ist falsch.
Die Aussage ist falsch.
Es gibt ein für das gilt: .
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Schreib das Herz wie definert um.
Suche ein , so dass die rechte Seite kleiner ist als die linke Seite.
z.B.
Rechne aus.
Dies Ungleichung ist wahr, es gibt also ein , das die Ungleichung erfüllt.
Die Gesamtaussage ist wahr.
Die Anzahl der Paare mit , wobei , ist .
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Suche alle Paar , die die Gleichung erfüllen. Sind es genau 4, ist die Aussage wahr.
Schreibe Herz wie definiert um.
Löse nach auf.
Probiere verschiedene aus. Dabei bietet sich die Reihenfolge an.
ist also ein gesuchtes Paar.
ist das zweite Paar.
ist das dritte Paar.
ist das vierte Paar.
Für und auch alle größeren muss negativ werden. Da das aber nicht erlaubt ist, gibt es genau die vier gefundenen Paare.
Die Aussage ist wahr.
Die Anzahl der Paare mit , wobei , ist .
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Diese Aussage ist falsch, denn in Teilaufgabe f) wurden schon 4 solche Paare gefunden.
Diese sind .