Das Aufsprungprofil einer Skisprungschanze wird näherungsweise durch folgende Funktion beschrieben:
Unter dem "K-Punkt" einer Sprungschanze versteht man den Aufsprungpunkt mit der geringsten Aufsprungbelastung für den Springer.
Berechne die horizontale Entfernung des K-Punktes vom Schanzentisch sowie den Neigungswinkel der Aufsprungbahn im K-Punkt.
Maßstab der Zeichnung:
Lösung anzeigen
Aus physikalischen Gründen ist der K-Punkt die steilste Stelle der Aufsprungbahn. Mathematisch ist demnach der Wendepunkt der Funktion zu berechnen.
Bilde mithilfe der Quotientenrgel die Ableitung von :
Bilde mithilfe der Quotientenregel die 2. Ableitung:
Setze nun die 2. Ableitung Null und bestätige den Vorzeichenwechsel der 2. Ableitung an ihrer Nullstelle und damit das Vorliegen eines Wendepunktes.
Beachte, dass nur für positive definiert ist.
besitzt für einen Vorzeichenwechsel, da gilt:
Erstes Teilergebnis:
Der K-Punkt ist also horizontal vom Schanzentisch entfernt. (Dies ergibt eine "Großschanze".)
Berechne um den Neigungswinkel der Aufsprungbahn an der K-Linie zu erhalten.
Benutze die Umkehrfunktion arctan des Tangens.
Zweites Teilergebnis:
Der Betrag des Neigungswinkels im K-Punkt (dem steilsten Aufsprungbereich) beträgt rund .
