Die Ableitung der Sinusfunktion kann man formal mithilfe der -Methode bestimmen. Damit kann man zeigen, dass die Ableitung die Kosinusfunktion ist.
In der Schule wird diese Beziehung oft durch das grafische Differenzieren gezeigt.
Zuletzt kann diese Relation auch durch das Betrachten der Potenzreihen anschaulich gemacht werden.
Beweis durch die h-Methode
Im nächsten Schritt verwendet man das Additionstheorem für die Sinusfunktion:
Im Zähler fasst man und zusammen und klammert aus.
Man kann den Bruch in eine Summe aus zwei Brüchen auftrennen.
Wenn es die Grenzwerte beider Summanden gibt, kann man den Limes in beide Summanden ziehen.
und hängen nicht von ab. Deswegen darf man sie vor den Limes schreiben.
ist die Ableitung des Kosinus an der Stelle . Das sieht man mit der -Methode:
.
Die Ableitung an der Stelle ist anschaulich die Steigung der Tangente:
Der Kosinus hat bei ein Maximum. Deswegen hat die Tangente die Steigung . Das heißt: .
Für sehr kleine ist in etwa genauso groß wie .
Graphische Veranschaulichung
Das kann man sich am folgenden Bild vorstellen.
Der Winkel steht im Bogenmaß. Deswegen hat der Kreisbogen genau die Länge . Je kleiner wird, umso kleiner wird der Unterschied zwischen und :
.
Im Grenzwert gilt also
Die Ableitung der Kosinusfunktion
Kennt man bereits die Ableitung der Sinusfunktion, kann man mit der Kettenregel ausrechnen. Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um nach links, erhält man die Kosinusfunktion. Das bedeutet: . Leitet man beide Seiten der Gleichung ab, erhält man:
Um die Kettenregel zu verwenden, setzt man und . Die Kettenregel lautet:
.
Da jetzt die Ableitung vom Sinus bekannt ist, kann man berechnen.
.
Die Ableitung von ist
.
Verschiebt man die Kosinuskurve um nach links, bekommt man die negative Sinuskurve.
Mit dieser Rechnung hat man gezeigt: .
Betrachtung der Potenzreihen
Die Sinus- und Kosinusfunktion können als Potenzreihen dargestellt werden:
Das Ableiten der Sinusfunktion kann durch das Ableiten der Potenzreihe realisiert werden, wobei jeder Summand einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Dadurch wird die Potenz kleiner und der Nenner wird mit dem neuen Faktor verrechnet, was hier mit einem Summanden aus der Sinusreihe ersichtlich wird:
Es entsteht genau der Summand, der in der Potenzreihe des Kosinus auftritt.