Skizziere mit Hilfe den gegebenen Informationen jeweils einen möglichen Verlaufdes Graphen der folgenden Funktionen.
Die Polynomfunktion vom Grad besitzt Nullstellen bei , und und schneidet die -Achse im Punkt .
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Gegeben:
Polynomfunktion vom Grad
Nullstellen bei und Punkt
Gesucht: Skizze von Graph
Zeichne zuerst die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem. Die Nullstellen liegen auf der -Achse.
Da die Funktion vom Grad ist, kann es keine weiteren Nullstellen geben und die drei Nullstellen sind einfache Nullstellen.
Der Verlauf geht also von zu und dann zu . Wichtig ist, dass er NICHT nochmal die -Achse schneidet. Wo der Hochpunkt zwischen und genau ist, ist egal.
Zeichne als Nächstes den Graph zwischen und weiter. Dort verläuft er im negativen Bereich. Auch hier ist egal, wo der Tiefpunkt zwischen und genau ist.
Zeichne jetzt den ganzen Graphen. Auch und sind einfache Nullstellen, also schneidet der Graph die x-Achse.
Lösung:
Die Polynomfunktion vom Grad hat genau eine doppelte Nullstelle und ihr Graph ist symmetrisch zur -Achse.
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Gegeben: Polynomfunktion vom Grad , genau eine doppelten Nullstelle, und der Graph symmetrisch zur -Achse
Gesucht: Skizze eines möglichen Graphen
Überlege zunächst, wo die doppelte Nullstelle hinkommt. Da der Graph symmetrisch zur -Achse ist, muss sie bei sein, denn wenn sie z.B. bei wäre, müsste durch die Symmetrie bei auch eine sein. Ob der Graph die -Achse von unten oder von oben berührt, ist beides richtig.
Zeichne jetzt den weiteren Verlauf.
Beachte dabei: Die Funktion ist vom Grad , also hat sie höchstens zwei weitere Nullstellen. Außerdem auch nur maximal Extremstellen.
Eine mögliche Lösung:
Die Polynomfunktion vom Grad besitzt zwei mehrfache Nullstellen.
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Gegeben: Polynomfunktion vom Grad , zwei mehrfache Nullstellen
Gesucht: Skizze von möglichem Graphen
Bei dieser Aufgabe gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, hier wird eine -fache Nullstelle bei und eine doppelte Nullstelle bei verwendet.
Du kannst aber beispielsweise auch zwei -fache Nullstellen einzeichnen, oder zwei doppelte, oder eine doppelte und eine -fache.
Skizziere als Erstes den Verlauf der Funktion an einer Nullstelle.
Überlege dann den Verlauf zur zweiten Nullstelle und wie er dort weiterläuft.
Ergänze jetzt den Graphen noch so, dass er zu einer Funktion vom Grad passt. Dabei ist wichtig, dass der Graph entweder auf beiden Seiten nach oder auf beiden Seiten nach läuft.
Achte darauf, dass die Vielfachheiten der Nullstellen insgesamt höchstens ergeben. Hier ist es eine -fache, eine doppelte und noch eine einfache Nullstelle.
Eine mögliche Lösung
