Bilde die Umkehrfunktion und gib falls nötig einen neuen Definitionsbereich an.
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Definitionsmenge und Wertebereich
Die Definitionsmenge der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion .
Der Wertebereich der Funktion wird zur Defininitionsmenge der Umkehrfunktion .
Umkehrfunktion
Vertausche die Variablen und .
Löse nach auf.
Umformung: -4
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
und
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Definitionsmenge und Wertebereich
Die Definitionsmenge der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion .
Der Wertebereich der Funktion wird zur Defininitionsmenge der Umkehrfunktion .
Umkehrfunktion
Vertausche die Variablen und .
Löse nach auf.
Umformung: \sqrt[3]{}
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
und
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Definitionsmenge und Wertebereich
Da die Funktion eine um 1 nach unten geschobene Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.
Durch Überlegung
Da symmetrisch zu ist sieht man, dass man wählen muss.
Durch Rechnung
Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von anzugeben.
Die Definitionsmenge der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion .
Der Wertebereich der Funktion wird zur Defininitionsmenge der Umkehrfunktion .
Umkehrfunktion
Vertausche die Variablen und .
Löse nach auf.
Umformung: +1
Umformung: \sqrt{ }
Da die Umkehrfunktion im Wertebereich liegen soll, wähle die positive Lösung der Gleichung.
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
und
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Definitionsmenge und Wertebereich
Die Definitionsmenge der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion .
Der Wertebereich der Funktion wird zur Defininitionsmenge der Umkehrfunktion .
Umkehrfunktion
Vertausche die Variablen und .
Löse nach auf.
Umformung: :2
Umformung: \uparrow 2
und
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Definitionsmenge und Wertebereich
Da die Funktion eine Parabel ist und somit Werte aus ihrem Wertebereich mehrmals "trifft" muss ihr Definitionsbereich eingeschränkt werden, um eine Umkehrfunktion zu finden.
Durch Überlegung
Man muss die Symmetrieachse der Parabel bestimmen. Da der Scheitelpunkt auf der Symmetrieachse liegt bestimmt man diesen.
Der Scheitelpunkt ist .
Also ist symmetrisch zu und man muss wählen.
Durch Rechnung
Man errechnet, wie unten gezeigt, die Umkehrfunktion und betrachtet die Wertemenge der Umkehrfunktion um die Einschränkung des Definitionsbereichs von anzugeben.
Die Definitionsmenge der Funktion wird zum Wertebereich der Umkehrfunktion .
Der Wertebereich der Funktion wird zur Defininitionsmenge der Umkehrfunktion .
Umkehrfunktion
Ersetze durch und verwende quadratische Ergänzung:
Vertausche die Variablen und .
Umformung: +\frac{1}{8}
Umformung: :2
Umformung: \sqrt{ }
Umformung: +\frac{3}{4}
Da die Umkehrfunktion im Wertebereich liegen soll, wähle die positive Lösung der Wurzel.
Man kann jetzt die Definitionsmenge und den Wertebereich angeben und sieht die Übereinstimmung mit der obigen Überlegung.
und