B 5
Gegeben ist das Rechteck mit und , das in der Ebene E liegt.
Bestimmen Sie die Koordinaten von . [2 BE]
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Berechne .
Bestimme die Koordinaten von
Es gilt:
Bestimmen Sie eine Gleichung von in Koordinatenform. [3 BE]
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- Die Parameterform von muss in die Koordinatenform umgewandelt werden.
Bestimme eine Gleichung von in Koordinatenform
Für die Ebene E gilt:
(mit um den Faktor verkürztem ersten Richtungsvektor).
Dann erhältst Du den Normalenvektor der Ebene als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren.
Normalenform:
Koordinatenform:
Das Rechteck stellt modellhaft eine Zielscheibe beim Bogenschießen dar (vgl. Abbildung 1). Im Koordinatensystem beschreibt die xy-Ebene den horizontalen
Boden; eine Längeneinheit entspricht einem Dezimeter in der Realität.
An die betrachtete Zielscheibe werden folgende Anforderungen gestellt:
I Ein Zielkreis mit einem Durchmesser von passt vollständig auf die Zielscheibe.
II Die Zielscheibe ist in einem Winkel von bis gegenüber dem horizontalen Boden geneigt.
Zeigen Sie rechnerisch, dass Anforderung I erfüllt ist.
[2 BE]
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- .
- Berechne die beiden Beträge und vergleiche.
Zeige rechnerisch, dass Anforderung I erfüllt ist
und
Die Anforderung I ist erfüllt, der äußere Zielkreis mit einem Durchmesser von liegt auf dem Rechteck .
Untersuchen Sie, ob Anforderung II erfüllt ist. [3 BE]
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- Bestimme und , sowie und .
- Berechne dann .
- Vergleiche mit der Anforderung II.
Untersuche, ob Anforderung II erfüllt ist
Neigung der Zielscheibe gegenüber dem Erdboden:
Es ist .
Der Normalenvektor der -Ebene ist .
Dann gilt:
Der Neigungswinkel der Ebene zum Boden beträgt rund und liegt damit in dem Intervall . Auch die Anforderung ist erfüllt.
In der Mitte der Zielscheibe befindet sich der kreisförmige Goldbereich mit Radius , dessen Mittelpunkt durch den Punkt dargestellt wird.
Die Flugbahn der Pfeilspitze eines Pfeils, der die Zielscheibe trifft, wird durch Punkte der Form mit geeigneten Werten von beschrieben.
Zeigen Sie rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft.
[6 BE]
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- Setze die Koordinaten der Flugbahn in die Gleichung der Ebene ein und .
- Setze bzw. in die Flugbahnkurve ein. Der berechnete z-Wert muss positiv sein. Das führt zur richtigen Lösung.
- Berechne den Auftreffpunkt.
- Berechne den Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt der Scheibe.
- Vergleiche den berechneten Abstand mit dem Radius des Goldbereiches.
Zeige rechnerisch, dass der Pfeil den Goldbereich trifft
Bekannt: Der Goldbereich hat einen Durchmesser von .
Setze die Koordinaten der Flugbahn in die Gleichung der Ebene ein:
Du hast eine quadratische Gleichung erhalten. Diese kannst du mit der Mitternachtsformel (abc-Formel) oder mit der pq-Formel lösen.
Hier erfolgt die Lösung mit der pq-Formel.
Setze und ein.
Vereinfache.
Du erhältst die Lösungen und .
Setze in die Flugbahnkurve für z ein:
Da negativ ist, landet der Pfeil unterhalb des Bodens und trifft die Scheibe nicht.
Daher ist die gesuchte Lösung.
Eingesetzt in die Flugbahnkurve folgt für den Auftreffpunkt:
Liegt der Punkt im Goldbereich?
Berechne den Abstand dieses Punktes vom Mittelpunkt der Scheibe.
Da ist, trifft der Pfeil den Goldbereich.
Die Flugbahn eines zweiten Pfeils kann aufgrund der Windverhältnisse nicht genau vorhergesagt werden. Die möglichen Auftreffpositionen werden durch die auf einer Strecke liegenden Punkte mit und dargestellt, wobei den Koordinatenursprung bezeichnet.
Abbildung 2 zeigt den Kreis, der den Goldbereich darstellt, seinen Mittelpunkt sowie den Punkt . Zeigen Sie, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist, und untersuchen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft. [4 BE]
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Teil 1
- Der Mittelpunkt des Goldbereichs soll eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils sein .
- Löse die Gleichung nach auf.
- Es muss gelten .
Teil 2
- Die Punktemenge stellt eine Strecke der Länge dar.
- Weiterhin ist
- Wie viel muss links von noch abgetragen werden, um zu zu gelangen?
Zeige, dass der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils ist
Wegen stellt die Punktemenge eine Strecke der Länge dar. Die möglichen Auftreffpunkte sollen auf dieser Strecke liegen.
Der Mittelpunkt des Goldbereichs soll eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils sein, d. h. es muss gelten:
Aus den Gleichungen und folgt jeweils und .
(Gleichung ist für alle auch erfüllt.)
Damit ist der Mittelpunkt des Goldbereichs eine mögliche Auftreffposition des zweiten Pfeils.
Untersuche mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 2, ob der zweite Pfeil den Goldbereich sicher trifft
Die Punktemenge stellt eine Strecke der Länge dar.
ist der Anfangspunkt der Strecke (). Der Punkt liegt auf dieser Strecke. Wegen folgt .
Dann muss links von noch die Hälfte von abgetragen werden (siehe Abbildung), um zu zu gelangen.
Die ganze Strecke liegt also für alle innerhalb des Goldbereiches, d. h. der Goldbereich wird immer getroffen.
