B 2 Aufgabe 1
Gegeben ist die Schar der in
definierten Funktionen
mit .
Der Graph von wird mit bezeichnet. Abbildung 1 zeigt für .
Berechnen Sie denjenigen Wert von , für den der Punkt auf liegt, und zeigen Sie, dass dieser Punkt Wendepunkt dieses Graphen ist. [5 BE]
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Teil 1
- Gegeben:
- Setze die Koordinaten von ein.
Teil 2
- Für einen Wendepunkt muss und sein.
- Setze in und ein.
Berechne denjenigen Wert von , für den der Punkt auf liegt
Gegeben:
Setze die Koordinaten von ein:
Für liegt der Punkt auf .
Zeige, dass dieser Punkt Wendepunkt dieses Graphen ist
Berechne die ersten drei Ableitungen.
Nun ist .
Für einen Wendepunkt muss und sein.
Setze in und ein:
und bei
Der Punkt ist Wendepunkt dieses Graphen.
Zeigen Sie, dass es genau zwei Punkte gibt, durch die alle Graphen der Schar verlaufen, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte. [4 BE]
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- Löse die Gleichung \;\Rightarrow\;x_1 und x_2.
- Berechne und .
- Beachte: Alle Graphen der Schar verlaufen durch diese zwei Punkte, wenn die Koordinaten der beiden Punkte unabhängig von sind.
Zeige, dass es genau zwei Punkte gibt, durch die alle Graphen der Schar verlaufen
Löse die Gleichung .
Umformung: -\left(\dfrac{1}{4} x^3 + \dfrac{1}{4}\right)
Klammere aus.
Die Gleichung hat mit dem Satz vom Nullprodukt die beiden Lösungen .
Es gibt zwei Lösungen, also gibt es auch zwei Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen, wenn die Koordinaten der beiden Punkte unabhängig von sind. (siehe Teil 2)
Bestimme die Koordinaten dieser beiden Punkte
Für ist .
Für folgt:
Die Koordinaten der beiden Punkte sind unabhängig von , d. h., es gibt genau zwei Punkte, durch die alle Graphen der Schar verlaufen.
Der Term einer Funktion der Schar kann in der Form angegeben werden. Der Graph dieser Funktion kann durch Verschiebungen aus erzeugt werden. Geben Sie eine passende Möglichkeit für diese Verschiebungen an. [2 BE]
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- Aus muss werden. Wie lautet die dazu passende Verschiebung?
- Wie lautet die anschließende Verschiebung in y-Richtung?
Gib eine passende Möglichkeit für diese Verschiebungen an
Betrachtet werden für jeden Wert die Tangente an im Punkt sowie der Punkt . Die Tangente schneidet die x-Achse in einem Punkt, der mit bezeichnet wird.
Begründen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1, dass für jeden Wert gilt. [4 BE]
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- Es gilt . Daraus folgt die Behauptung.
- Nimm entsprechende Eintragungen in Abb. 1 vor.
Begründe mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1, dass für jeden Wert gilt
Für jeden Wert ist und .
Dann gilt:
Es gibt Kreise, deren Mittelpunkte auf der y-Achse liegen und die den
Graphen der ersten Ableitungsfunktion von in genau zwei Punkten
berühren. Der Punkt ist ein Berührpunkt eines solchen Kreises.
Bestimmen Sie rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunkts dieses
Kreises. [5 BE]
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- Es ist und .
- Die Steigung der Tangente an den Graphen von in
- Für die Steigung der Normalen erhältst Du dann .
- Ansatz für Normalengleichung .
- Setze in die Koordinaten von ein.
Bestimme rechnerisch die y-Koordinate des Mittelpunkts dieses Kreises
Es ist und .
Die Steigung der Tangente an den Graphen von in
Für die Steigung der Normalen erhältst Du dann .
Die Gleichung der Normalen an den Graphen von in
Setze in die Koordinaten von ein:
Die y-Koordinate des Mittelpunkts dieses Kreises ist .